№3111

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=1+cos2x\) в точках пересечения с осями

Ответ

f^{'}(x)=-2sin2x, f^{'}(0)=0, f^{'}\left ( \frac{\pi }{2}+\pi k \right )=0

Решение № 3111:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x)) = -2\sin(2x) \] <li> Найти точки пересечения функции с осями: </li> <ul> <li> Для оси \( O_x \): </li> \[ f(x) = 0 \implies 1 + \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1 \] <li> Решить уравнение \( \cos(2x) = -1 \): </li> \[ 2x = \pi + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Точки пересечения с осью \( O_x \) имеют координаты: </li> \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] </ul> <ul> <li> Для оси \( O_y \): </li> \[ x = 0 \] <li> Точка пересечения с осью \( O_y \) имеет координаты: </li> \[ (0, f(0)) = (0, 1 + \cos(0)) = (0, 2) \] </ul> <li> Вычислить производную в найденных точках: </li> <ul> <li> Для точек на оси \( O_x \): </li> \[ f'(x) = -2\sin(2x) \] <li> Подставим \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \): </li> \[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = -2\sin(\pi + 2k\pi) = -2\sin(\pi) = 0 \] </ul> <ul> <li> Для точки на оси \( O_y \): </li> \[ f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = 0 \] </ul> <li> Сравнить полученные значения производной в точках пересечения с осями: </li> <ul> <li> В точках пересечения с осью \( O_x \): </li> \[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \] <li> В точке пересечения с осью \( O_y \): </li> \[ f'(0) = 0 \] </ul> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями равна \( 0 \).