№3117

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=xe^{x-x^{2}}\)

Ответ

x_{max}=1, x_{min}=-\frac{1}{2}

Решение № 3117:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(xe^{x-x^2}) \] <li> Использовать правило произведения для нахождения производной: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) \] <li> Найти производные каждого из множителей: </li> \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) = e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] <li> Подставить найденные производные в выражение для \( y' \): </li> \[ y' = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x(1 - 2x) \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) = 0 \] <li> Так как \( e^{x-x^2} \) никогда не равно нулю, уравнение сводится к: </li> \[ 1 + x - 2x^2 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение: </li> \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] <li> Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] <li> Подставить коэффициенты \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \): </li> \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{4} \] <li> Получить два корня: </li> \[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] <li> Проверить вторую производную для определения характера критических точек: </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \right) \] <li> Использовать правило произведения для нахождения второй производной: </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \right) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot (1 - 4x) \] <li> Подставить критические точки \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \) во вторую производную и определить характер точек: </li> \[ y'(1) = e^{1-1^2} \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \left( 1 + 1 - 2 \cdot 1^2 \right) + e^{1-1^2} \left( 1 - 4 \cdot 1 \right) \] \[ y'(1) = e^0 \left( -1 \right) \left( 0 \right) + e^0 \left( -3 \right) \] \[ y'(1) = -3 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{2} - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) + e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}} \left( 2 \right) \left( 0 \right) + e^{-\frac{1}{4}} \left( 3 \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 3e^{-\frac{1}{4}} > 0 \quad \text{(минимум)} \] </ol> Ответ: <br> Точки максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \): <br> Точка максимума: \( x = 1 \) <br> Точка минимума: \( x = -\frac{1}{2} \)