№3136

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=x^{5}-5x^{4}\)

Ответ

y_{max}=y(0)=0, y_{min}=y(4)=-256

Решение № 3136:

Для нахождения экстремумов функции \( y = x^5 - 5x^4 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4) = 5x^4 - 20x^3 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 5x^4 - 20x^3 = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ x^3(5x - 20) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x^3 = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 20 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] <li> Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 20x^3) = 20x^3 - 60x^2 \] <li> Вычислить вторую производную в критических точках: </li> \[ y'(0) = 20(0)^3 - 60(0)^2 = 0 \] \[ y'(4) = 20(4)^3 - 60(4)^2 = 20 \cdot 64 - 60 \cdot 16 = 1280 - 960 = 320 \] <li> Анализ второй производной: </li> \[ y'(0) = 0 \quad \text{(не определяет экстремум)} \] \[ y'(4) > 0 \quad \text{(минимальная точка)} \] <li> Проверить значения функции в критических точках: </li> \[ y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 = 0 \] \[ y(4) = 4^5 - 5 \cdot 4^4 = 1024 - 5 \cdot 256 = 1024 - 1280 = -256 \] <li> Сравнить значения функции в критических точках: </li> \[ \text{Минимальное значение: } y(4) = -256 \] \[ \text{Максимальное значение: } y(0) = 0 \] </ol> Ответ: <br> Минимальное значение: \( -256 \) при \( x = 4 \) <br> Максимальное значение: \( 0 \) при \( x = 0 \)