№3121

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=2x^{3}-6x^{2}-18x+7\)

Ответ

x_{max}=-1, x_{min}=3

Решение № 3121:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \] <li> Разделим все члены уравнения на 6: </li> \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] <li> Решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] <li> где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): </li> \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] <li> Проверим, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \] <li> Вычислим вторую производную в найденных критических точках: </li> \[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 24 \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -24 \] <li> Проанализируем знаки второй производной: </li> \[ y'(3) = 24 > 0 \implies \text{в точке } x = 3 \text{ минимум} \] \[ y'(-1) = -24 < 0 \implies \text{в точке } x = -1 \text{ максимум} \] <li> Вычислим значения функции в точках экстремума: </li> \[ y(3) = 2 \cdot 3^3 - 6 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 - 18 \cdot (-1) + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \] </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = 3 \), \( y(3) = -47 \) <br> Точка максимума: \( x = -1 \), \( y(-1) = 17 \)