№3056

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{x^{2}}{x+1}\)

Ответ

{0;-2}

Решение № 3056:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x+1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2)' \cdot (x+1) - x^2 \cdot (x+1)'}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ x^2 + 2x = 0 \] Выносим \( x \) за скобку: \[ x(x + 2) = 0 \] Получаем два решения: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции: </li> Функция \( y = \frac{x^2}{x+1} \) определена для всех \( x \neq -1 \). \[ x_1 = 0 \quad \text{(попадает в область определения)} \] \[ x_2 = -2 \quad \text{(попадает в область определения)} \] <li> Проверить знак производной вокруг критических точек для определения их характера: </li> Для \( x_1 = 0 \): \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] Проверим знак производной слева от \( x = 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \[ y'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 + 2(-0.5)}{(-0.5+1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = 0 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ y'(0.5) = \frac{(0.5)^2 + 2(0.5)}{(0.5+1)^2} = \frac{0.25 + 1}{1.25} = \frac{1.25}{1.25} = 1 \quad \text{(положительное значение)} \] Следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума. Для \( x_2 = -2 \): Проверим знак производной слева от \( x = -2 \) (например, \( x = -2.5 \)): \[ y'(-2.5) = \frac{(-2.5)^2 + 2(-2.5)}{(-2.5+1)^2} = \frac{6.25 - 5}{(-1.5)^2} = \frac{1.25}{2.25} = \frac{1.25}{2.25} \approx 0.556 \quad \text{(положительное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = -2 \) (например, \( x = -1.5 \)): \[ y'(-1.5) = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5+1)^2} = \frac{2.25 - 3}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Следовательно, \( x = -2 \) является точкой максимума. </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -2 \)