№3047

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=4x+\frac{9}{x}\)

Ответ

\left \{ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right \}

Решение № 3047:

Для нахождения критических точек функции \( y = 4x + \frac{9}{x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(4x + \frac{9}{x}\right) \] \[ y' = 4 - \frac{9}{x^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4 - \frac{9}{x^2} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4 = \frac{9}{x^2} \] \[ 4x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{4} \] \[ x = \pm \frac{3}{2} \] <li> Проверить, какие из найденных точек являются критическими. Для этого нужно проверить вторую производную или использовать первый критерий: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(4 - \frac{9}{x^2}\right) \] \[ y' = \frac{18}{x^3} \] <li> Оценить значение второй производной в найденных точках: </li> \[ y'\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{\frac{27}{8}} = \frac{18 \cdot 8}{27} = \frac{16}{3} > 0 \] Это означает, что \( x = \frac{3}{2} \) является точкой минимума. \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(-\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{-\frac{27}{8}} = -\frac{16}{3} < 0 \] Это означает, что \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой максимума. </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = -\frac{3}{2} \)