№3036

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{2x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}}\)

Ответ

1

Решение № 3036:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \right) \] <li> Применить правило дифференцирования частного: </li> \[ y' = \frac{(6x^2 + 2x) \cdot x^2 - (2x^3 + x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2)^2} \] <li> Упростить числитель: </li> \[ y' = \frac{6x^4 + 2x^3 - 4x^4 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^4} \] \[ y' = \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2(x^3 + x^2 - x - 1) = 0 \] \[ x^3 + x^2 - x - 1 = 0 \] <li> Факторизовать уравнение: </li> \[ (x + 1)(x^2 - 1) = 0 \] \[ (x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ (x + 1)^2 (x - 1) = 0 \] <li> Найти корни уравнения: </li> \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] <li> Проверить, попадают ли критические точки в область определения функции: </li> Оба корня \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в область определения функции, так как \( x \neq 0 \). </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \)