№3067

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{x}{x^{2}-1}\)

Ответ

Нет критических точек

Решение № 3067:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ -x^2 - 1 = 0 \] \[ -x^2 = 1 \implies x^2 = -1 \] Это уравнение не имеет реальных решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным. <li> Проверить точки, где знаменатель равен нулю, так как эти точки могут быть точками разрыва: </li> \[ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Точки \( x = 1 \) и \( x = -1 \) являются точками разрыва и не являются критическими точками. <li> Следовательно, функция \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \) не имеет критических точек. </li> </ol> Ответ: <br> Функция не имеет критических точек.