№3129

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=e^{-2x}sin^{2}x\)

Ответ

x_{min}=\pi n, n\in Z; x_{max}=\frac{\pi }{4}+\pi k, k,n\in Z

Решение № 3129:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = e^{-2x} \sin^2 x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{-2x} \sin^2 x) \] </li> <li> Использовать правило произведения для дифференцирования: </li> \[ y' = \left( e^{-2x} \right)' \sin^2 x + e^{-2x} \left( \sin^2 x \right)' \] </li> <li> Найти производные каждой части: </li> \[ \left( e^{-2x} \right)' = -2e^{-2x} \] \[ \left( \sin^2 x \right)' = 2 \sin x \cos x \] </li> <li> Подставить производные в формулу: </li> \[ y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \cdot 2 \sin x \cos x \] </li> <li> Упростить выражение: </li> \[ y' = e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \] </li> <li> Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек: </li> \[ e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) = 0 \] </li> <li> Так как \( e^{-2x} \neq 0 \) для всех \( x \), уравнение упрощается до: </li> \[ -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \] </li> <li> Разделить уравнение на 2: </li> \[ -\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \] </li> <li> Вынести общий множитель \( \sin x \): </li> \[ \sin x (-\sin x + \cos x) = 0 \] </li> <li> Рассмотреть два случая: </li> \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad -\sin x + \cos x = 0 \] </li> <li> Решить первое уравнение: </li> \[ \sin x = 0 \implies x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \] </li> <li> Решить второе уравнение: </li> \[ -\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] </li> <li> Определить, какие из этих точек являются точками максимума и минимума: </li> \[ \text{В точках} \quad x = n\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2n\pi} \sin^2(n\pi) = 0 \] \[ \text{В точках} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \] </li> <li> Проверить вторую производную для определения характера критических точек: </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \right) \] </li> <li> Дифференцировать и упростить выражение: </li> \[ y' = e^{-2x} \left( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x \right) \] </li> <li> Определить знак второй производной в критических точках: </li> \[ \text{Для} \quad x = n\pi \quad y' = e^{-2n\pi} \left( 4 \sin^2(n\pi) - 4 \sin(n\pi) \cos(n\pi) - 4 \cos^2(n\pi) \right) = -4e^{-2n\pi} < 0 \] \[ \text{Для} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad y' = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \left( 4 \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \sin(\frac{\pi}{4} + k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \cos^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \right) \] </li> <li> Сравнить значения и определить точки максимума и минимума: </li> \[ \text{Точки} \quad x = n\pi \quad \text{являются точками максимума} \] \[ \text{Точки} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{являются точками минимума} \] </li> </ol> Ответ: <br> Точки максимума: \( x = n\pi \) <br> Точки минимума: \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)