№3110

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+1}, x_{0}=0; 1\)

Ответ

f^{'}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+2)^{2}}, f^{'}(0)=1, f^{'}(1)=\frac{1}{2}

Решение № 3110:

Для нахождения значений производной функции \( f(x) = \frac{x-1}{x^2+1} \) в заданных точках \( x_0 = 0 \) и \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x^2+1} \right) \] <li> Применить правило производной частного: </li> \[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) - (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \] <li> Найти производные числителя и знаменателя: </li> \[ \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \] <li> Подставить найденные производные в формулу: </li> \[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} \] <li> Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 0 \): </li> \[ f'(0) = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 + 1}{(0^2+1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \] <li> Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 1 \): </li> \[ f'(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1 + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1 + 2 + 1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] </ol> Ответ: <br> Значение производной в точке \( x_0 = 0 \): \( 1 \) <br> Значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \( \frac{1}{2} \)