№3093

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{4}{3}x^{3}-4x\) на отрезке \([0;2]\)

Ответ

\underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{8}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-\frac{8}{3}

Решение № 3093:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{4}{3}x^3 - 4x \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3 - 4x\right) = 4x^2 - 4 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4x^2 - 4 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x^2 - 4 = 0 \implies \] <li> \[ 4x^2 = 4 \implies \] </li> <li> \[ x^2 = 1 \implies \] </li> <li> \[ x = \pm 1 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\): </li> \[ x = 1 \quad \text{(попадает в отрезок \([0; 2]\))} \] \[ x = -1 \quad \text{(не попадает в отрезок \([0; 2]\))} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3} \] \[ y(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{4}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = \frac{8}{3} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -\frac{8}{3} \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{8}{3} \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{8}{3} \)