Решение №3034: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 + 4x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 5) = 2x + 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x + 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x + 4 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = -4 \implies \]
5. \[ x = -2 \]

Ответ: -2

Решение №3036: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \right) \]
2. Применить правило дифференцирования частного:
\[ y' = \frac{(6x^2 + 2x) \cdot x^2 - (2x^3 + x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2)^2} \]
3. Упростить числитель:
\[ y' = \frac{6x^4 + 2x^3 - 4x^4 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^4} \] \[ y' = \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2(x^3 + x^2 - x - 1) = 0 \] \[ x^3 + x^2 - x - 1 = 0 \]
6. Факторизовать уравнение:
\[ (x + 1)(x^2 - 1) = 0 \] \[ (x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ (x + 1)^2 (x - 1) = 0 \]
7. Найти корни уравнения:
\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
8. Проверить, попадают ли критические точки в область определения функции:
Оба корня \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в область определения функции, так как \( x \neq 0 \).

Ответ: 1

Решение №3042: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 - 11x + 12 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 11x + 12) = 2x - 11 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 11 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 11 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = 11 \implies \]
5. \[ x = \frac{11}{2} \]

Ответ: \frac{11}{2}

Решение №3046: Для нахождения критических точек функции \( y = x \sqrt{4 + x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x \sqrt{4 + x} \right) \] Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 + x} \right) \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4 + x}} \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} = 0 \] Умножим обе части уравнения на \( 2 \sqrt{4 + x} \): \[ 2 (4 + x) + x = 0 \] \[ 8 + 2x + x = 0 \] \[ 3x + 8 = 0 \] \[ x = -\frac{8}{3} \]
3. Проверить, что \( x = -\frac{8}{3} \) является критической точкой:
\[ \text{Проверим, что значение } x = -\frac{8}{3} \text{ попадает в область определения функции } y = x \sqrt{4 + x}. \] \[ \text{Область определения функции: } 4 + x \geq 0 \implies x \geq -4 \] \[ -\frac{8}{3} \approx -2.67 \text{, что больше чем } -4. \]
4. Проверить значения функции \( y \) в точке \( x = -\frac{8}{3} \):
\[ y \left( -\frac{8}{3} \right) = -\frac{8}{3} \sqrt{4 - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{12}{3} - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ = -\frac{8 \cdot 2}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16 \sqrt{3}}{9} \]

Ответ: -\frac{8}{3}

Решение №3047: Для нахождения критических точек функции \( y = 4x + \frac{9}{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(4x + \frac{9}{x}\right) \] \[ y' = 4 - \frac{9}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4 - \frac{9}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4 = \frac{9}{x^2} \] \[ 4x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{4} \] \[ x = \pm \frac{3}{2} \]
4. Проверить, какие из найденных точек являются критическими. Для этого нужно проверить вторую производную или использовать первый критерий:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(4 - \frac{9}{x^2}\right) \] \[ y' = \frac{18}{x^3} \]
5. Оценить значение второй производной в найденных точках:
\[ y'\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{\frac{27}{8}} = \frac{18 \cdot 8}{27} = \frac{16}{3} > 0 \] Это означает, что \( x = \frac{3}{2} \) является точкой минимума. \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(-\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{-\frac{27}{8}} = -\frac{16}{3} < 0 \] Это означает, что \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой максимума.

Ответ: \left \{ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right \}

Решение №3052: Для нахождения критических точек функции \( y = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = 3x^2 - 3x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 3x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 3x(x - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 3x(x - 1) = 0 \implies \]
5. \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]

Ответ: {0;1}

Решение №3056: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x+1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2)' \cdot (x+1) - x^2 \cdot (x+1)'}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ x^2 + 2x = 0 \] Выносим \( x \) за скобку: \[ x(x + 2) = 0 \] Получаем два решения: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции:
Функция \( y = \frac{x^2}{x+1} \) определена для всех \( x \neq -1 \). \[ x_1 = 0 \quad \text{(попадает в область определения)} \] \[ x_2 = -2 \quad \text{(попадает в область определения)} \]
4. Проверить знак производной вокруг критических точек для определения их характера:
Для \( x_1 = 0 \): \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] Проверим знак производной слева от \( x = 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \[ y'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 + 2(-0.5)}{(-0.5+1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = 0 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ y'(0.5) = \frac{(0.5)^2 + 2(0.5)}{(0.5+1)^2} = \frac{0.25 + 1}{1.25} = \frac{1.25}{1.25} = 1 \quad \text{(положительное значение)} \] Следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума. Для \( x_2 = -2 \): Проверим знак производной слева от \( x = -2 \) (например, \( x = -2.5 \)): \[ y'(-2.5) = \frac{(-2.5)^2 + 2(-2.5)}{(-2.5+1)^2} = \frac{6.25 - 5}{(-1.5)^2} = \frac{1.25}{2.25} = \frac{1.25}{2.25} \approx 0.556 \quad \text{(положительное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = -2 \) (например, \( x = -1.5 \)): \[ y'(-1.5) = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5+1)^2} = \frac{2.25 - 3}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Следовательно, \( x = -2 \) является точкой максимума.

Ответ: {0;-2}

Решение №3057: Для нахождения критических точек функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 5) = -4x^3 + 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель и решить уравнение:
\[ 4x(-x^2 + 1) = 0 \]
4. Разделить на два уравнения и решить их:
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad -x^2 + 1 = 0 \]
5. Решить первое уравнение:
\[ 4x = 0 \implies x = 0 \]
6. Решить второе уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
7. Таким образом, критические точки функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \) являются:
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]

Ответ: {-1;0;1}

Решение №3064: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Вычислить производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \]
3. Итоговая производная:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
6. Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой.
7. Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \):
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \]
8. Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \):
\[ 17 = x^2 - 8 \]
9. Решить уравнение относительно \( x^2 \):
\[ x^2 = 25 \]
10. Найти \( x \):
\[ x = \pm 5 \]
11. Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \):
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \]
12. Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает.

Ответ: {-5;5}

Решение №3067: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ -x^2 - 1 = 0 \] \[ -x^2 = 1 \implies x^2 = -1 \] Это уравнение не имеет реальных решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.
3. Проверить точки, где знаменатель равен нулю, так как эти точки могут быть точками разрыва:
\[ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Точки \( x = 1 \) и \( x = -1 \) являются точками разрыва и не являются критическими точками.
4. Следовательно, функция \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \) не имеет критических точек.

Ответ: Нет критических точек

Решение №6908: Для нахождения критических точек функции \( y = -5x^2 + 10x - 3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-5x^2 + 10x - 3) = -10x + 10 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -10x + 10 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -10x + 10 = 0 \implies \]
4. \[ -10x = -10 \implies \]
5. \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №6910: Для нахождения критических точек функции \( y = 3x^2 + \frac{48}{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(3x^2 + \frac{48}{x}\right) \] \[ y' = 6x - \frac{48}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x - \frac{48}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6x = \frac{48}{x^2} \]
4. Умножить обе части уравнения на \( x^2 \):
\[ 6x^3 = 48 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x^3 = \frac{48}{6} = 8 \] \[ x = \sqrt[3]{8} = 2 \]
6. Проверить, является ли найденная точка критической:
\[ y' = 6x - \frac{48}{x^2} \] Для \( x = 2 \): \[ y' = 6(2) - \frac{48}{2^2} = 12 - 12 = 0 \] Таким образом, \( x = 2 \) является критической точкой.

Ответ: 2

Решение №6914: Для нахождения критических точек функции \( y = 3x^2 - 2x + 10 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 10) = 6x - 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x - 2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6x - 2 = 0 \implies \]
4. \[ 6x = 2 \implies \]
5. \[ x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Ответ: \frac{1}{3}

Решение №6921: Для нахождения критических точек функции \( y = \cos x \cos 2x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\cos x \cos 2x) \]
2. Применим правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x) \]
3. Вычислим производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin 2x \]
4. Подставим их в выражение для производной:
\[ y' = \cos 2x \cdot (-\sin x) + \cos x \cdot (-2 \sin 2x) \] \[ y' = -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x = 0 \]
6. Вынесем общий множитель:
\[ -\sin x (\cos 2x + 2 \cos x) = 0 \]
7. Решим уравнение относительно \( x \):
\[ -\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x + 2 \cos x = 0 \]
8. Решим первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Решим второе уравнение:
\[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \] \[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 \]
10. Подставим \( u = \cos x \):
\[ 2u^2 + 2u - 1 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение:
\[ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \]
12. Получаем два значения для \( \cos x \):
\[ \cos x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \]
13. Решим уравнение для \( x \):
\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
14. Объединим все решения:
\[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \left \{ \pi n, \pm arcsin\sqrt{\frac{5}{6}}+\pi k, k\in Z \right \}

Решение №6924: Для нахождения критических точек функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8\sin(x) - 6\cos(x)) = 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 8\cos(x) + 6\sin(x) = -1 \]
4. Для решения этого уравнения можно использовать метод замены переменной. Пусть \( \sin(x) = u \) и \( \cos(x) = v \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ 8v + 6u = -1 \]
5. Учитывая, что \( u^2 + v^2 = 1 \) (так как \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)), подставим \( v = \sqrt{1 - u^2} \) в уравнение:
\[ 8\sqrt{1 - u^2} + 6u = -1 \]
6. Решим это уравнение относительно \( u \):
\[ 8\sqrt{1 - u^2} = -1 - 6u \]
7. Квадрирование обеих частей уравнения:
\[ (8\sqrt{1 - u^2})^2 = (-1 - 6u)^2 \] \[ 64(1 - u^2) = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 64u^2 = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 1 = 36u^2 + 64u^2 + 12u \] \[ 63 = 100u^2 + 12u \] \[ 100u^2 + 12u - 63 = 0 \]
8. Решим это квадратное уравнение относительно \( u \):
\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 100 \), \( b = 12 \), \( c = -63 \): \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-63)}}{2 \cdot 100} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 25200}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{25344}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm 159.2}{200} \]
9. Получаем два значения для \( u \):
\[ u_1 = \frac{-12 + 159.2}{200} = \frac{147.2}{200} = 0.736 \] \[ u_2 = \frac{-12 - 159.2}{200} = \frac{-171.2}{200} = -0.856 \]
10. Теперь найдем соответствующие значения \( x \):
\[ \sin(x) = 0.736 \quad \text{или} \quad \sin(x) = -0.856 \]
11. Решим эти уравнения относительно \( x \):
\[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{или} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \]
12. Таким образом, критические точки функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \) находятся в точках:
\[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{и} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \]

Ответ: NaN

Решение №6928: Для нахождения критических точек функции \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 3x(x - 2) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x - 2 = 0 \implies x = 2 \]
5. Таким образом, критические точки функции \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Ответ: {0;2}

Решение №6931: Для нахождения критических точек функции \( y = -x^3 + 3x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -3x^2 + 3 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -3x^2 + 3 = 0 \implies \]
4. \[ 3 - 3x^2 = 0 \implies \]
5. \[ 3(1 - x^2) = 0 \implies \]
6. \[ 1 - x^2 = 0 \implies \]
7. \[ x^2 = 1 \implies \]
8. \[ x = \pm 1 \]

Ответ: {-1;1}

Решение №6933: Для нахождения критических точек функции \( y = x^3 - 12x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x) = 3x^2 - 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 12 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 3x^2 - 12 = 0 \implies \]
4. \[ 3x^2 = 12 \implies \]
5. \[ x^2 = 4 \implies \]
6. \[ x = \pm 2 \]

Ответ: {-2;1}

Решение №6938: Для нахождения критических точек функции \( y = 2x^3 + 24x + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 24x + 4) = 6x^2 + 24 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 + 24 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6x^2 + 24 = 0 \implies \]
4. \[ 6x^2 = -24 \implies \]
5. \[ x^2 = -4 \]
6. \[ x = \pm \sqrt{-4} \]
7. \[ x = \pm 2i \]
8. Так как \( x = \pm 2i \) — комплексные числа, функция \( y = 2x^3 + 24x + 4 \) не имеет реальных критических точек.

Ответ: критических точек нет

Решение №13211: Для нахождения критических точек функции \( y = 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( a^{u(x)} \): \[ \frac{d}{dx} \left( a^{u(x)} \right) = a^{u(x)} \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] Тогда: \[ \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} \right) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (2x+1) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot 2 \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 5^{x+3} \right) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (x+3) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] Таким образом: \[ y' = 2 \cdot 5^{2x+1} \ln(5) - 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] \[ y' = 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) = 0 \] Поскольку \( 2 \ln(5) \neq 0 \), то: \[ 5^{2x+1} - 5^{x+3} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 5^{2x+1} = 5^{x+3} \] Поскольку основания одинаковы, равенство показателей экспонент: \[ 2x + 1 = x + 3 \] \[ 2x - x = 3 - 1 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №13212: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 - 6x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 7) = 2x - 6 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 6 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 6 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = 6 \implies \]
5. \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №13213: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}\right) \]
2. Разложим производную на два слагаемых:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \]
3. Вычислим производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \]
4. Подставим найденные производные:
\[ y' = -\frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3} = 0 \]
6. Приведем уравнение к общему знаменателю:
\[ \frac{-4x + 2}{x^3} = 0 \]
7. Решим уравнение относительно \( x \):
\[ -4x + 2 = 0 \] \[ 4x = 2 \] \[ x = \frac{1}{2} \]
8. Проверим, что найденная точка \( x = \frac{1}{2} \) действительно является критической точкой, находящейся в области определения функции:
\[ \text{Область определения функции: } x \neq 0 \] \[ \text{Точка } x = \frac{1}{2} \text{ удовлетворяет этому условию.} \]

Ответ: \frac{1}{2}

Решение №13216: Для нахождения критических точек функции \( y = x - \sqrt{4 + x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x - \sqrt{4 + x}) \] \[ y' = 1 - \frac{d}{dx}(\sqrt{4 + x}) \] \[ y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \cdot \frac{d}{dx}(4 + x) \] \[ y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \cdot 1 \] \[ y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 - \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} = 0 \] \[ 1 = \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \] \[ 2\sqrt{4 + x} = 1 \] \[ \sqrt{4 + x} = \frac{1}{2} \] \[ 4 + x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ 4 + x = \frac{1}{4} \] \[ x = \frac{1}{4} - 4 \] \[ x = -\frac{15}{4} \]
3. Проверить, где производная не существует:
\[ \frac{1}{2\sqrt{4 + x}} \text{ не существует, если } 4 + x \leq 0 \] \[ x \leq -4 \] Таким образом, производная не существует при \( x = -4 \).
4. Заключение:
Критические точки функции \( y = x - \sqrt{4 + x} \) являются \( x = -\frac{15}{4} \) и \( x = -4 \).

Ответ: -\frac{15}{14}

Решение №13217: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 + 3x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x + 3 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x + 3 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = -3 \implies \]
5. \[ x = -\frac{3}{2} \]

Ответ: -\frac{3}{2}

Решение №13218: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{10}{x} - \frac{7}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{10}{x} - \frac{7}{x^2}\right) \] Используем правило дифференцирования для каждого из членов: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{10}{x}\right) = -\frac{10}{x^2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{x^2}\right) = -\left(-\frac{14}{x^3}\right) = \frac{14}{x^3} \] Таким образом, \[ y' = -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{-10x + 14}{x^3} = 0 \] Числитель должен быть равен нулю: \[ -10x + 14 = 0 \] Решим это уравнение: \[ -10x + 14 = 0 \implies \] \[ -10x = -14 \implies \] \[ x = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \]
4. Проверить, попадает ли критическая точка в область допустимых значений (ОДЗ) функции. Для функции \( y = \frac{10}{x} - \frac{7}{x^2} \) ОДЗ: \( x \neq 0 \). Критическая точка \( x = \frac{7}{5} \) попадает в ОДЗ.

Ответ: \frac{7}{5}

Решение №13222: Для нахождения критических точек функции \( y = 2x^2 + x^3 - 3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + x^3 - 3) = 4x + 3x^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x + 3x^2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x(4 + 3x) = 0 \]
4. Разделить уравнение на два уравнения:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 4 + 3x = 0 \]
5. Решить второе уравнение:
\[ 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3} \]
6. Таким образом, критические точки функции \( y = 2x^2 + x^3 - 3 \) являются:
\[ x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{4}{3} \]

Ответ: \left \{ 0;-\frac{4}{3} \right \}

Решение №13223: Для нахождения критических точек функции \( y = \sin^{2}(3x) + 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} + \cos(1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}(3x) + 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} + \cos(1) \right) \]
2. Рассмотрим производную каждого слагаемого отдельно:
\[ \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}(3x) \right) = 2 \sin(3x) \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin(3x) \right) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \]
3. \[ \frac{d}{dx} \left( 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} \right) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{2} - 4x + 4 \right) = \frac{3}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \cdot (2x - 4) \]
4. \[ \frac{d}{dx} \left( \cos(1) \right) = 0 \]
5. Сложим производные всех слагаемых:
\[ y' = 6 \sin(3x) \cos(3x) + \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \]
6. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 \sin(3x) \cos(3x) + \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \]
7. Рассмотрим уравнение \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 0 \):
\[ 6 \sin(3x) \cos(3x) = 0 \implies \sin(3x) \cos(3x) = 0 \]
8. Это уравнение выполняется, когда \( \sin(3x) = 0 \) или \( \cos(3x) = 0 \):
\[ \sin(3x) = 0 \implies 3x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Рассмотрим уравнение \( \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \):
\[ \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \]
10. Проверим, какие из этих точек попадают в область определения функции \( y \):
\[ \sqrt{x^{2} - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \] Функция определена для всех \( x \).
11. Следовательно, критические точки функции \( y \) находятся в точках \( x = \frac{k\pi}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \), а также в точке \( x = 2 \).

Ответ: \left \{ 2;\frac{1}{6}\left ( \frac{\pi }{2}+2\pi m \right ), m=1,0,-1,-2,...; \frac{1}{6}\left ( -\frac{\pi }{2}+2\pi n \right ), n=2,3,... \right \}

Решение №13226: Для нахождения критических точек функции \( y = 2x^3 - 3x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 6x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 6x(x - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 1 \]
5. Проверить вторую производную для определения характера критических точек. Найти вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6 \]
6. Вычислить вторую производную в критических точках:
\[ y'(0) = 12 \cdot 0 - 6 = -6 \] \[ y'(1) = 12 \cdot 1 - 6 = 6 \]
7. Определить характер критических точек:
\[ \text{В точке } x = 0, \text{ вторая производная } y'(0) = -6 \text{ отрицательна, значит, точка } x = 0 \text{ является точкой максимума.} \] \[ \text{В точке } x = 1, \text{ вторая производная } y'(1) = 6 \text{ положительна, значит, точка } x = 1 \text{ является точкой минимума.} \]

Ответ: {0;1}

Решение №13227: Для нахождения критических точек функции \( y = 3x^2 + 2x^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x^3) = 6x + 6x^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x + 6x^2 = 0 \]
3. Вынести общий множитель и решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6x(1 + x) = 0 \]
4. Решить уравнение:
\[ 6x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + x = 0 \]
5. Найти значения \( x \):
\[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -1 \]

Ответ: {0;-1}

Решение №13230: Для нахождения критических точек функции \( y = 6x - 2x^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x - 2x^3) = 6 - 6x^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 - 6x^2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6 - 6x^2 = 0 \implies 6(1 - x^2) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \]
4. Найти корни уравнения:
\[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в заданный отрезок (если он указан). В данном случае отрезок не указан, поэтому рассматриваем все найденные критические точки.

Ответ: {-1;1}