№6921

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=cosxcos2x\)

Ответ

\left \{ \pi n, \pm arcsin\sqrt{\frac{5}{6}}+\pi k, k\in Z \right \}

Решение № 6921:

Для нахождения критических точек функции \( y = \cos x \cos 2x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(\cos x \cos 2x) \] <li> Применим правило произведения для нахождения производной: </li> \[ y' = \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x) \] <li> Вычислим производные каждого из множителей: </li> \[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin 2x \] <li> Подставим их в выражение для производной: </li> \[ y' = \cos 2x \cdot (-\sin x) + \cos x \cdot (-2 \sin 2x) \] \[ y' = -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -\sin x \cos 2x - 2 \cos x \sin 2x = 0 \] <li> Вынесем общий множитель: </li> \[ -\sin x (\cos 2x + 2 \cos x) = 0 \] <li> Решим уравнение относительно \( x \): </li> \[ -\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 2x + 2 \cos x = 0 \] <li> Решим первое уравнение: </li> \[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Решим второе уравнение: </li> \[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \] \[ \cos 2x + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 \] <li> Подставим \( u = \cos x \): </li> \[ 2u^2 + 2u - 1 = 0 \] <li> Решим квадратное уравнение: </li> \[ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \] <li> Получаем два значения для \( \cos x \): </li> \[ \cos x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \] <li> Решим уравнение для \( x \): </li> \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Объединим все решения: </li> \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = k\pi \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).