№13213

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=5^{2x+1}-2\cdot 5^{x+3}\)

Ответ

2

Решение № 13211:

Для нахождения критических точек функции \( y = 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( a^{u(x)} \): \[ \frac{d}{dx} \left( a^{u(x)} \right) = a^{u(x)} \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] Тогда: \[ \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} \right) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (2x+1) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot 2 \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 5^{x+3} \right) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (x+3) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] Таким образом: \[ y' = 2 \cdot 5^{2x+1} \ln(5) - 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] \[ y' = 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) = 0 \] Поскольку \( 2 \ln(5) \neq 0 \), то: \[ 5^{2x+1} - 5^{x+3} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 5^{2x+1} = 5^{x+3} \] Поскольку основания одинаковы, равенство показателей экспонент: \[ 2x + 1 = x + 3 \] \[ 2x - x = 3 - 1 \] \[ x = 2 \] </ol> Ответ: <br> Критическая точка: \( x = 2 \)