№13225

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=sin^{2}3x+3\sqrt{x^{2}-4x+4}+cos1\)

Ответ

\left \{ 2;\frac{1}{6}\left ( \frac{\pi }{2}+2\pi m \right ), m=1,0,-1,-2,...; \frac{1}{6}\left ( -\frac{\pi }{2}+2\pi n \right ), n=2,3,... \right \}

Решение № 13223:

Для нахождения критических точек функции \( y = \sin^{2}(3x) + 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} + \cos(1) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}(3x) + 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} + \cos(1) \right) \] <li> Рассмотрим производную каждого слагаемого отдельно: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}(3x) \right) = 2 \sin(3x) \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin(3x) \right) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \] <li> \[ \frac{d}{dx} \left( 3\sqrt{x^{2} - 4x + 4} \right) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{2} - 4x + 4 \right) = \frac{3}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \cdot (2x - 4) \] </li> <li> \[ \frac{d}{dx} \left( \cos(1) \right) = 0 \] </li> <li> Сложим производные всех слагаемых: </li> \[ y' = 6 \sin(3x) \cos(3x) + \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6 \sin(3x) \cos(3x) + \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \] <li> Рассмотрим уравнение \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 0 \): </li> \[ 6 \sin(3x) \cos(3x) = 0 \implies \sin(3x) \cos(3x) = 0 \] <li> Это уравнение выполняется, когда \( \sin(3x) = 0 \) или \( \cos(3x) = 0 \): </li> \[ \sin(3x) = 0 \implies 3x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Рассмотрим уравнение \( \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \): </li> \[ \frac{3(2x - 4)}{2\sqrt{x^{2} - 4x + 4}} = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] <li> Проверим, какие из этих точек попадают в область определения функции \( y \): </li> \[ \sqrt{x^{2} - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \] Функция определена для всех \( x \). <li> Следовательно, критические точки функции \( y \) находятся в точках \( x = \frac{k\pi}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \), а также в точке \( x = 2 \). </li> </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = \frac{k\pi}{3} \), \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \), и \( x = 2 \).