№13228

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=2x^{3}-3x^{2}\)

Ответ

{0;1}

Решение № 13226:

Для нахождения критических точек функции \( y = 2x^3 - 3x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6x^2 - 6x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ 6x(x - 1) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 6x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 1 \] <li> Проверить вторую производную для определения характера критических точек. Найти вторую производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6 \] <li> Вычислить вторую производную в критических точках: </li> \[ y'(0) = 12 \cdot 0 - 6 = -6 \] \[ y'(1) = 12 \cdot 1 - 6 = 6 \] <li> Определить характер критических точек: </li> \[ \text{В точке } x = 0, \text{ вторая производная } y'(0) = -6 \text{ отрицательна, значит, точка } x = 0 \text{ является точкой максимума.} \] \[ \text{В точке } x = 1, \text{ вторая производная } y'(1) = 6 \text{ положительна, значит, точка } x = 1 \text{ является точкой минимума.} \] </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = 0 \) (точка максимума) и \( x = 1 \) (точка минимума).