№13215

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{4}{x}-\frac{1}{x^{2}}\)

Ответ

\frac{1}{2}

Решение № 13213:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}\right) \] <li> Разложим производную на два слагаемых: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \] <li> Вычислим производные каждого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \] <li> Подставим найденные производные: </li> \[ y' = -\frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -\frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3} = 0 \] <li> Приведем уравнение к общему знаменателю: </li> \[ \frac{-4x + 2}{x^3} = 0 \] <li> Решим уравнение относительно \( x \): </li> \[ -4x + 2 = 0 \] \[ 4x = 2 \] \[ x = \frac{1}{2} \] <li> Проверим, что найденная точка \( x = \frac{1}{2} \) действительно является критической точкой, находящейся в области определения функции: </li> \[ \text{Область определения функции: } x \neq 0 \] \[ \text{Точка } x = \frac{1}{2} \text{ удовлетворяет этому условию.} \] </ol> Ответ: <br> Критическая точка: \( x = \frac{1}{2} \)