№3046

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=x\sqrt{4+x}\)

Ответ

-\frac{8}{3}

Решение № 3046:

Для нахождения критических точек функции \( y = x \sqrt{4 + x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( x \sqrt{4 + x} \right) \] Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 + x} \right) \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4 + x}} \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} = 0 \] Умножим обе части уравнения на \( 2 \sqrt{4 + x} \): \[ 2 (4 + x) + x = 0 \] \[ 8 + 2x + x = 0 \] \[ 3x + 8 = 0 \] \[ x = -\frac{8}{3} \] </li> <li> Проверить, что \( x = -\frac{8}{3} \) является критической точкой: </li> \[ \text{Проверим, что значение } x = -\frac{8}{3} \text{ попадает в область определения функции } y = x \sqrt{4 + x}. \] \[ \text{Область определения функции: } 4 + x \geq 0 \implies x \geq -4 \] \[ -\frac{8}{3} \approx -2.67 \text{, что больше чем } -4. \] </li> <li> Проверить значения функции \( y \) в точке \( x = -\frac{8}{3} \): </li> \[ y \left( -\frac{8}{3} \right) = -\frac{8}{3} \sqrt{4 - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{12}{3} - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ = -\frac{8 \cdot 2}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16 \sqrt{3}}{9} \] </li> </ol> Ответ: <br> Критическая точка: \( x = -\frac{8}{3} \)