№3064

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{x^{2}}{17}-ln(x^{2}-8)\)

Ответ

{-5;5}

Решение № 3064:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \] <li> Вычислить производную каждого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \] <li> Итоговая производная: </li> \[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \] </li> <li> Упростить уравнение: </li> \[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \] </li> <li> Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \): </li> \[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой. </li> <li> Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \): </li> \[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \] </li> <li> Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \): </li> \[ 17 = x^2 - 8 \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( x^2 \): </li> \[ x^2 = 25 \] </li> <li> Найти \( x \): </li> \[ x = \pm 5 \] </li> <li> Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \): </li> \[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \] </li> <li> Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает. </li> </ol> Ответ: <br> Критическая точка: \( x = -5 \)