№13220

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=\frac{10}{x}-\frac{7}{x^{2}}\)

Ответ

\frac{7}{5}

Решение № 13218:

Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{10}{x} - \frac{7}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{10}{x} - \frac{7}{x^2}\right) \] Используем правило дифференцирования для каждого из членов: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{10}{x}\right) = -\frac{10}{x^2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{x^2}\right) = -\left(-\frac{14}{x^3}\right) = \frac{14}{x^3} \] Таким образом, \[ y' = -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ -\frac{10}{x^2} + \frac{14}{x^3} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{-10x + 14}{x^3} = 0 \] Числитель должен быть равен нулю: \[ -10x + 14 = 0 \] Решим это уравнение: \[ -10x + 14 = 0 \implies \] \[ -10x = -14 \implies \] \[ x = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в область допустимых значений (ОДЗ) функции. Для функции \( y = \frac{10}{x} - \frac{7}{x^2} \) ОДЗ: \( x \neq 0 \). Критическая точка \( x = \frac{7}{5} \) попадает в ОДЗ. </li> </ol> Ответ: <br> Критическая точка: \( x = \frac{7}{5} \)