№6924

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=x+8sinx-6cosx\)

Ответ

NaN

Решение № 6924:

Для нахождения критических точек функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8\sin(x) - 6\cos(x)) = 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 1 + 8\cos(x) + 6\sin(x) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 8\cos(x) + 6\sin(x) = -1 \] <li> Для решения этого уравнения можно использовать метод замены переменной. Пусть \( \sin(x) = u \) и \( \cos(x) = v \). Тогда уравнение принимает вид: </li> \[ 8v + 6u = -1 \] <li> Учитывая, что \( u^2 + v^2 = 1 \) (так как \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)), подставим \( v = \sqrt{1 - u^2} \) в уравнение: </li> \[ 8\sqrt{1 - u^2} + 6u = -1 \] <li> Решим это уравнение относительно \( u \): </li> \[ 8\sqrt{1 - u^2} = -1 - 6u \] <li> Квадрирование обеих частей уравнения: </li> \[ (8\sqrt{1 - u^2})^2 = (-1 - 6u)^2 \] \[ 64(1 - u^2) = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 64u^2 = 1 + 12u + 36u^2 \] \[ 64 - 1 = 36u^2 + 64u^2 + 12u \] \[ 63 = 100u^2 + 12u \] \[ 100u^2 + 12u - 63 = 0 \] <li> Решим это квадратное уравнение относительно \( u \): </li> \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 100 \), \( b = 12 \), \( c = -63 \): \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-63)}}{2 \cdot 100} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 25200}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm \sqrt{25344}}{200} \] \[ u = \frac{-12 \pm 159.2}{200} \] <li> Получаем два значения для \( u \): </li> \[ u_1 = \frac{-12 + 159.2}{200} = \frac{147.2}{200} = 0.736 \] \[ u_2 = \frac{-12 - 159.2}{200} = \frac{-171.2}{200} = -0.856 \] <li> Теперь найдем соответствующие значения \( x \): </li> \[ \sin(x) = 0.736 \quad \text{или} \quad \sin(x) = -0.856 \] <li> Решим эти уравнения относительно \( x \): </li> \[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{или} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \] <li> Таким образом, критические точки функции \( y = x + 8\sin(x) - 6\cos(x) \) находятся в точках: </li> \[ x_1 = \arcsin(0.736) \quad \text{и} \quad x_2 = \arcsin(-0.856) \] </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x_1 = \arcsin(0.736) \) и \( x_2 = \arcsin(-0.856) \)