№3057

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Производная и экстремумы. Критические точки,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти критические точки функции\(y=-x^{4}+2x^{2}+5\)

Ответ

{-1;0;1}

Решение № 3057:

Для нахождения критических точек функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 5) = -4x^3 + 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -4x^3 + 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель и решить уравнение: </li> \[ 4x(-x^2 + 1) = 0 \] <li> Разделить на два уравнения и решить их: </li> \[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad -x^2 + 1 = 0 \] <li> Решить первое уравнение: </li> \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] <li> Решить второе уравнение: </li> \[ -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] <li> Таким образом, критические точки функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \) являются: </li> \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] </ol> Ответ: <br> Критические точки: \( x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \)