№3137

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}\)

Ответ

y_{max}=y(0)=-2, y_{min}=y(2)=2

Решение № 3137:

Для нахождения экстремумов функции \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции \( y \): </li> Функция \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \) не определена при \( x = 1 \). Критические точки \( x = \pm \sqrt{2} \) не попадают в точку разрыва, поэтому они допустимы. <li> Проверить, являются ли критические точки экстремумами, используя вторую производную или знакопостоянство первой производной: </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x)(x - 1)^2 - (x^2 - 2)(2(x - 1))}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x - 1)^2 - 2(x^2 - 2)(x - 1)}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 2x + 1) - 2(x^3 - 2x)}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{2x^3 - 4x^2 + 2x - 2x^3 + 4x}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 6x}{(x - 1)^3} \] Проверим знак второй производной в критических точках: \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-4(\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-4(-\sqrt{2})^2 + 6(-\sqrt{2})}{(-\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Оба значения второй производной в критических точках не равны нулю, что указывает на экстремум. <li> Определить, являются ли критические точки точками минимума или максимума: </li> Для \( x = \sqrt{2} \): \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной положительно, \( x = \sqrt{2} \) является точкой минимума. Для \( x = -\sqrt{2} \): \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной отрицательно, \( x = -\sqrt{2} \) является точкой максимума. </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = \sqrt{2} \) <br> Точка максимума: \( x = -\sqrt{2} \)