Решение №3117: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(xe^{x-x^2}) \]
2. Использовать правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) \]
3. Найти производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) = e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \]
4. Подставить найденные производные в выражение для \( y' \):
\[ y' = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x(1 - 2x) \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) = 0 \]
6. Так как \( e^{x-x^2} \) никогда не равно нулю, уравнение сводится к:
\[ 1 + x - 2x^2 = 0 \]
7. Решить квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]
8. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
9. Подставить коэффициенты \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{4} \]
10. Получить два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
11. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \right) \]
12. Использовать правило произведения для нахождения второй производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \right) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot (1 - 4x) \]
13. Подставить критические точки \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \) во вторую производную и определить характер точек:
\[ y'(1) = e^{1-1^2} \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \left( 1 + 1 - 2 \cdot 1^2 \right) + e^{1-1^2} \left( 1 - 4 \cdot 1 \right) \] \[ y'(1) = e^0 \left( -1 \right) \left( 0 \right) + e^0 \left( -3 \right) \] \[ y'(1) = -3 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{2} - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) + e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}} \left( 2 \right) \left( 0 \right) + e^{-\frac{1}{4}} \left( 3 \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 3e^{-\frac{1}{4}} > 0 \quad \text{(минимум)} \]

Ответ: x_{max}=1, x_{min}=-\frac{1}{2}

Решение №3121: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
3. Разделим все члены уравнения на 6:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Проверим, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \]
8. Вычислим вторую производную в найденных критических точках:
\[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 24 \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -24 \]
9. Проанализируем знаки второй производной:
\[ y'(3) = 24 > 0 \implies \text{в точке } x = 3 \text{ минимум} \] \[ y'(-1) = -24 < 0 \implies \text{в точке } x = -1 \text{ максимум} \]
10. Вычислим значения функции в точках экстремума:
\[ y(3) = 2 \cdot 3^3 - 6 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 - 18 \cdot (-1) + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \]

Ответ: x_{max}=-1, x_{min}=3

Решение №3122: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 4x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4 - 2x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4 - 2x = 0 \implies 4 = 2x \implies x = 2 \]
4. Проверить вторую производную для определения характера экстремума:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(4x - x^2) = \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2 \]
5. Поскольку \( y' = -2 \) отрицательна, точка \( x = 2 \) является точкой максимума.
6. Вычислить значение функции в точке экстремума:
\[ y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \]

Ответ: 2

Решение №3123: Для нахождения точек экстремума функции \( y = -4x^3 + 3x^2 + 36x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -12x^2 + 6x + 36 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -12x^2 + 6x + 36 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение относительно \( x \):
\[ 12x^2 - 6x - 36 = 0 \]
4. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставить значения \( a = 12 \), \( b = -6 \), \( c = -36 \):
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-36)}}{2 \cdot 12} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm 42}{24} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{6 + 42}{24} = \frac{48}{24} = 2 \] \[ x_2 = \frac{6 - 42}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума:
8. Вычислить вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -24x + 6 \]
9. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ y'(2) = -24 \cdot 2 + 6 = -48 + 6 = -42 \] \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = -24 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 6 = 36 + 6 = 42 \]
10. Так как \( y'(2) < 0 \), точка \( x = 2 \) является точкой максимума.
11. Так как \( y'\left(-\frac{3}{2}\right) > 0 \), точка \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой минимума.

Ответ: x_{max}=2, x_{min}=-\frac{3}{2}

Решение №3128: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^2 + 3x + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 4) = 4x + 3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x + 3 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4} \]
4. Проверить вторую производную для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x + 3) = 4 \]
5. Поскольку \( y' = 4 > 0 \), критическая точка \( x = -\frac{3}{4} \) является точкой минимума.
6. Вычислить значение функции в точке минимума:
\[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18 - 36 + 64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \]

Ответ: x_{min}=-\frac{3}{4}

Решение №3129: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = e^{-2x} \sin^2 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(e^{-2x} \sin^2 x) \]
2. Использовать правило произведения для дифференцирования:
\[ y' = \left( e^{-2x} \right)' \sin^2 x + e^{-2x} \left( \sin^2 x \right)' \]
3. Найти производные каждой части:
\[ \left( e^{-2x} \right)' = -2e^{-2x} \] \[ \left( \sin^2 x \right)' = 2 \sin x \cos x \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \cdot 2 \sin x \cos x \]
5. Упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \]
6. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) = 0 \]
7. Так как \( e^{-2x} \neq 0 \) для всех \( x \), уравнение упрощается до:
\[ -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \]
8. Разделить уравнение на 2:
\[ -\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \]
9. Вынести общий множитель \( \sin x \):
\[ \sin x (-\sin x + \cos x) = 0 \]
10. Рассмотреть два случая:
\[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad -\sin x + \cos x = 0 \]
11. Решить первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \]
12. Решить второе уравнение:
\[ -\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
13. Определить, какие из этих точек являются точками максимума и минимума:
\[ \text{В точках} \quad x = n\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2n\pi} \sin^2(n\pi) = 0 \] \[ \text{В точках} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \]
14. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \right) \]
15. Дифференцировать и упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x \right) \]
16. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ \text{Для} \quad x = n\pi \quad y' = e^{-2n\pi} \left( 4 \sin^2(n\pi) - 4 \sin(n\pi) \cos(n\pi) - 4 \cos^2(n\pi) \right) = -4e^{-2n\pi} < 0 \] \[ \text{Для} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad y' = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \left( 4 \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \sin(\frac{\pi}{4} + k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \cos^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \right) \]
17. Сравнить значения и определить точки максимума и минимума:
\[ \text{Точки} \quad x = n\pi \quad \text{являются точками максимума} \] \[ \text{Точки} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{являются точками минимума} \]

Ответ: x_{min}=\pi n, n\in Z; x_{max}=\frac{\pi }{4}+\pi k, k,n\in Z

Решение №3136: Для нахождения экстремумов функции \( y = x^5 - 5x^4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4) = 5x^4 - 20x^3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 5x^4 - 20x^3 = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ x^3(5x - 20) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x^3 = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 20 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
5. Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 20x^3) = 20x^3 - 60x^2 \]
6. Вычислить вторую производную в критических точках:
\[ y'(0) = 20(0)^3 - 60(0)^2 = 0 \] \[ y'(4) = 20(4)^3 - 60(4)^2 = 20 \cdot 64 - 60 \cdot 16 = 1280 - 960 = 320 \]
7. Анализ второй производной:
\[ y'(0) = 0 \quad \text{(не определяет экстремум)} \] \[ y'(4) > 0 \quad \text{(минимальная точка)} \]
8. Проверить значения функции в критических точках:
\[ y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 = 0 \] \[ y(4) = 4^5 - 5 \cdot 4^4 = 1024 - 5 \cdot 256 = 1024 - 1280 = -256 \]
9. Сравнить значения функции в критических точках:
\[ \text{Минимальное значение: } y(4) = -256 \] \[ \text{Максимальное значение: } y(0) = 0 \]

Ответ: y_{max}=y(0)=0, y_{min}=y(4)=-256

Решение №3137: Для нахождения экстремумов функции \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции \( y \):
Функция \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \) не определена при \( x = 1 \). Критические точки \( x = \pm \sqrt{2} \) не попадают в точку разрыва, поэтому они допустимы.
4. Проверить, являются ли критические точки экстремумами, используя вторую производную или знакопостоянство первой производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x)(x - 1)^2 - (x^2 - 2)(2(x - 1))}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x - 1)^2 - 2(x^2 - 2)(x - 1)}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 2x + 1) - 2(x^3 - 2x)}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{2x^3 - 4x^2 + 2x - 2x^3 + 4x}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 6x}{(x - 1)^3} \] Проверим знак второй производной в критических точках: \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-4(\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-4(-\sqrt{2})^2 + 6(-\sqrt{2})}{(-\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Оба значения второй производной в критических точках не равны нулю, что указывает на экстремум.
5. Определить, являются ли критические точки точками минимума или максимума:
Для \( x = \sqrt{2} \): \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной положительно, \( x = \sqrt{2} \) является точкой минимума. Для \( x = -\sqrt{2} \): \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной отрицательно, \( x = -\sqrt{2} \) является точкой максимума.

Ответ: y_{max}=y(0)=-2, y_{min}=y(2)=2

Решение №3138: Для нахождения экстремумов функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
3. Упростим уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставим коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \):
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Проверим значения функции в критических точках \( x = 3 \) и \( x = -1 \):
\[ y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = 2 \cdot (-1) - 6 \cdot 1 + 18 + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \]
8. Для определения характера экстремумов, найдем вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \]
9. Подставим критические точки в вторую производную:
\[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -12 - 12 = -24 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
10. Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 3 \) и максимум в точке \( x = -1 \).

Ответ: y_{max}=y(-1)=17, y_{min}=y(3)=-47

Решение №3140: Для нахождения экстремумов функции \( y = \frac{1}{4}(x-2)^2(x+4) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \frac{1}{4}(x-2)^2(x+4) \] Используем правило произведения и цепное правило для нахождения производной: \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \right] \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x^2 + 2x - 8) + (x^2 - 4x + 4) \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2x^2 + 4x - 16 + x^2 - 4x + 4 \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 3x^2 - 12 \right] \] \[ y' = \frac{3}{4} (x^2 - 4) \] \[ y' = \frac{3}{4} (x - 2)(x + 2) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{3}{4} (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
4. Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную или анализ знака первой производной:
\[ y' = \frac{3}{4} (2x) = \frac{3}{2} x \]
5. Проверим знак второй производной в критических точках:
\[ y'(2) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 > 0 \] \[ y'(-2) = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3 < 0 \]
6. Определить тип экстремумов:
\[ y'(2) > 0 \implies x = 2 \text{ является точкой минимума} \] \[ y'(-2) < 0 \implies x = -2 \text{ является точкой максимума} \]
7. Вычислить значения функции в точках экстремума:
\[ y(2) = \frac{1}{4}(2-2)^2(2+4) = \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot 6 = 0 \] \[ y(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2(-2+4) = \frac{1}{4} \cdot 16 \cdot 2 = 8 \]

Ответ: y_{max}=y(-2)=8, y_{min}=y(2)=0

Решение №6991: Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2 + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2 + 4\right) = x^3 + 3x^2 + 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ x^3 + 3x^2 + 2x = 0 \]
3. Вынести общий множитель \( x \):
\[ x(x^2 + 3x + 2) = 0 \]
4. Решить уравнение \( x = 0 \) и квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \):
\[ x = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]
5. Решить квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
7. Таким образом, критические точки функции \( y \) являются:
\[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = -2 \]
8. Проверить, являются ли эти точки экстремумами, найдя вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^3 + 3x^2 + 2x\right) = 3x^2 + 6x + 2 \]
9. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 2 = 2 \] \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \] \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 \]
10. Анализировать знаки второй производной:
- В точке \( x = 0 \), \( y'(0) = 2 > 0 \), следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума. - В точке \( x = -1 \), \( y'(-1) = -1 < 0 \), следовательно, \( x = -1 \) является точкой максимума. - В точке \( x = -2 \), \( y'(-2) = 2 > 0 \), следовательно, \( x = -2 \) является точкой минимума.

Ответ: x_{max}=-1, x_{min}=0, x_{min}=-2

Решение №6992: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \arcsin \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \arcsin \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) = \frac{2(1 + x^2) - 2x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \] Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = 0 \): \[ 2(1 - x^2) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
3. Проверить значения функции в критических точках:
\[ y(1) = \arcsin \left( \frac{2 \cdot 1}{1 + 1^2} \right) = \arcsin \left( \frac{2}{2} \right) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \] \[ y(-1) = \arcsin \left( \frac{2 \cdot (-1)}{1 + (-1)^2} \right) = \arcsin \left( \frac{-2}{2} \right) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \]
4. Исследовать поведение функции в окрестностях критических точек для определения максимумов и минимумов:
Производная \( y' \) меняет знак в точках \( x = \pm 1 \), что указывает на экстремумы. В точке \( x = 1 \): \[ y' \text{меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на максимум} \] В точке \( x = -1 \): \[ y' \text{меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на минимум} \]
5. Заключение:
\[ \text{Точка } x = 1 \text{ является точкой максимума, и } y(1) = \frac{\pi}{2} \] \[ \text{Точка } x = -1 \text{ является точкой минимума, и } y(-1) = -\frac{\pi}{2} \]

Ответ: x_{max}=1, x_{min}=-1

Решение №6997: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 6 + 12x - x^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 + 12x - x^3) = 12 - 3x^2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 12 - 3x^2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 12 - 3x^2 = 0 \implies \]
4. \[ 3x^2 = 12 \implies \]
5. \[ x^2 = 4 \implies \]
6. \[ x = \pm 2 \]
7. Проверить, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(12 - 3x^2) = -6x \]
8. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0 \] \[ y'(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 > 0 \]
9. Определить характер точек экстремума:
• В точке \( x = 2 \): \( y'(2) < 0 \), следовательно, функция имеет локальный максимум.
• В точке \( x = -2 \): \( y'(-2) > 0 \), следовательно, функция имеет локальный минимум.
10. Вычислить значения функции в точках экстремума:
\[ y(2) = 6 + 12 \cdot 2 - 2^3 = 6 + 24 - 8 = 22 \] \[ y(-2) = 6 + 12 \cdot (-2) - (-2)^3 = 6 - 24 + 8 = -10 \]

Ответ: x_{max}=2, x_{min}=-2

Решение №7008: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x}{\ln x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \]
2. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} \]
3. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
4. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \): \[ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \]
7. Проверим, является ли точка \( x = e \) точкой экстремума, используя вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
8. Вычислим вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
9. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 1) - (\ln x - 1) \cdot \frac{d}{dx}((\ln x)^2)}{((\ln x)^2)^2} \]
10. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - 1) = \frac{1}{x} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((\ln x)^2) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \]
11. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \]
12. Упростим выражение: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - 2 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] \[ y' = \frac{-\ln x + 2}{x (\ln x)^3} \]
13. Оценим вторую производную в точке \( x = e \): \[ y'(e) = \frac{-\ln e + 2}{e (\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e} > 0 \]
14. Так как вторая производная положительна в точке \( x = e \), точка \( x = e \) является точкой минимума.

Ответ: x_{min}=e

Решение №7018: Для нахождения экстремумов функции \( y = \sqrt{2x^2 - x + 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x^2 - x + 2}\right) \] Используем правило дифференцирования для корня: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 2) \] Найдем производную подкоренного выражения: \[ \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 2) = 4x - 1 \] Подставим это в нашу формулу: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot (4x - 1) = \frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( 4x - 1 = 0 \): \[ 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} \]
3. Проверить, является ли найденная точка экстремумом, используя вторую производную или анализ знаков первой производной:
4. Найдем вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(4 \cdot 2\sqrt{2x^2 - x + 2}) - (4x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{2x^2 - x + 2})}{(2\sqrt{2x^2 - x + 2})^2} \] Найдем производную знаменателя: \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{2x^2 - x + 2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot (4x - 1) = \frac{4x - 1}{\sqrt{2x^2 - x + 2}} \] Подставим это в формулу второй производной: \[ y' = \frac{8\sqrt{2x^2 - x + 2} - (4x - 1) \cdot \frac{4x - 1}{\sqrt{2x^2 - x + 2}}}{4(2x^2 - x + 2)} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{8(2x^2 - x + 2) - (4x - 1)^2}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] \[ y' = \frac{16x^2 - 8x + 16 - (16x^2 - 8x + 1)}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] \[ y' = \frac{15}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] Поскольку знаменатель всегда положителен, \( y' \) всегда положителен, что означает, что \( x = \frac{1}{4} \) является точкой минимума.
5. Вычислить значение функции в критической точке:
\[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{16}{8}} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{15}{8}} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{30}}{4} \]

Ответ: y_{min}=y(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{15}{8}}

Решение №7019: Для нахождения экстремумов функции \( y = (x-1)^5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}((x-1)^5) = 5(x-1)^4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 5(x-1)^4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ (x-1)^4 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
4. Проверить вторую производную для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}((x-1)^5) = \frac{d}{dx}(5(x-1)^4) = 20(x-1)^3 \]
5. Подставить критическую точку \( x = 1 \) во вторую производную:
\[ y'(1) = 20(1-1)^3 = 20 \cdot 0^3 = 0 \]
6. Поскольку вторая производная в критической точке равна нулю, необходимо использовать первый признак для определения характера критической точки. Проверим знак первой производной слева и справа от критической точки \( x = 1 \):
\[ y'(x) = 5(x-1)^4 \]
7. Проверим знак \( y'(x) \) слева от \( x = 1 \) (например, \( x = 0.9 \)):
\[ y'(0.9) = 5(0.9-1)^4 = 5(-0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \]
8. Проверим знак \( y'(x) \) справа от \( x = 1 \) (например, \( x = 1.1 \)):
\[ y'(1.1) = 5(1.1-1)^4 = 5(0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \]
9. Поскольку знак первой производной не меняется при переходе через критическую точку \( x = 1 \), функция не имеет экстремума в этой точке.

Ответ: нет экстемумов

Решение №7021: Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^3 + 4x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 4x) = 3x^2 + 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 + 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 3x^2 + 4 = 0 \implies \]
4. \[ 3x^2 = -4 \]
5. \[ x^2 = -\frac{4}{3} \]
6. \[ x = \pm \sqrt{-\frac{4}{3}} \]

1. Заключение:
\[ \text{Функция } y = x^3 + 4x \text{ не имеет точек экстремума.} \]

Ответ: экстремумов нет

Решение №13285: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + \sin(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + \sin(2x)) = 1 + 2\cos(2x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 2\cos(2x) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2\cos(2x) = -1 \implies \]
4. \[ \cos(2x) = -\frac{1}{2} \]
5. Найти углы, при которых косинус равен \(-\frac{1}{2}\):
\[ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Разделить на 2, чтобы найти \( x \):
\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума:
\[ \text{Возьмем } k = 0 \text{ и } k = 1: \] \[ x = \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в этих точках:
\[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} + \sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
9. Сравнить полученные значения и определить точки максимумов и минимумов:
\[ \text{Точки максимумов: } x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \] \[ \text{Точки минимумов: } x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \]

Ответ: x_{max}=\frac{\pi }{3}+\pi k, x_{min}=-\frac{\pi }{3}+\pi n, k, n\in Z

Решение №13286: Для нахождения точек экстремума функции \( y = -5x^2 - 2x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-5x^2 - 2x + 2) = -10x - 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -10x - 2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -10x - 2 = 0 \implies -10x = 2 \implies x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} \]
4. Проверить, является ли найденная точка точкой экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(-5x^2 - 2x + 2) = -10 \]
5. Поскольку вторая производная \( y' = -10 \) отрицательна, точка \( x = -\frac{1}{5} \) является точкой максимума.
6. Найти значение функции в точке экстремума:
\[ y\left(-\frac{1}{5}\right) = -5\left(-\frac{1}{5}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{5}\right) + 2 \] \[ = -5\left(\frac{1}{25}\right) + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = -\frac{5}{25} + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = \frac{1}{5} + 2 \] \[ = \frac{1}{5} + \frac{10}{5} \] \[ = \frac{11}{5} \]

Ответ: x_{max}=-\frac{1}{5}

Решение №13287: Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^4 - 2x^3 - 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^3 - 2x^2) = 4x^3 - 6x^2 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x^3 - 6x^2 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель \( 2x \):
\[ 2x(2x^2 - 3x - 2) = 0 \]
4. Решить уравнение \( 2x = 0 \):
\[ x_1 = 0 \]
5. Решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \] \[ x_3 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \]
7. Таким образом, критические точки функции \( y = x^4 - 2x^3 - 2x^2 \) являются \( x = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{2} \).
8. Проверить, являются ли эти точки экстремумами, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x^2 - 4x) = 12x^2 - 12x - 4 \]
9. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(0) = 12(0)^2 - 12(0) - 4 = -4 \] \[ y'(2) = 12(2)^2 - 12(2) - 4 = 48 - 24 - 4 = 20 \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 12\left(-\frac{1}{2}\right) - 4 = 12 \cdot \frac{1}{4} + 6 - 4 = 3 + 6 - 4 = 5 \]
10. Интерпретировать результаты:
\[ y'(0) < 0 \implies x = 0 \text{ является точкой максимума} \] \[ y'(2) > 0 \implies x = 2 \text{ является точкой минимума} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) > 0 \implies x = -\frac{1}{2} \text{ является точкой минимума} \]

Ответ: x_{max}=0, x_{min}=-\frac{1}{2}, x_{min}=2

Решение №13291: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 - 6x - 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
4. Решить квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
5. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
6. Проверить значения производной вокруг критических точек для определения экстремумов:
• Для \( x = -1 \):
\[ y'(-1.1) = 6(-1.1)^2 - 6(-1.1) - 12 \approx 6.61 + 6.6 - 12 \approx 1.21 > 0 \] \[ y'(-0.9) = 6(-0.9)^2 - 6(-0.9) - 12 \approx 4.86 + 5.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] Следовательно, \( x = -1 \) является точкой локального максимума.
• Для \( x = 2 \):
\[ y'(1.9) = 6(1.9)^2 - 6(1.9) - 12 \approx 21.66 - 11.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] \[ y'(2.1) = 6(2.1)^2 - 6(2.1) - 12 \approx 26.46 - 12.6 - 12 \approx 1.86 > 0 \] Следовательно, \( x = 2 \) является точкой локального минимума.
7. Вычислить значения функции в критических точках:
\[ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \] \[ f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \]

Ответ: x_{max}=-1, x_{min}=2

Решение №13296: Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14\right) = 2x^2 - 10x + 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x^2 - 10x + 2 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 10x + 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = -10 \), \( c = 2 \): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{4} \]
4. Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \] \[ x_2 = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \]
5. Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума, используя вторую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 10x + 2) = 4x - 10 \]
6. Вычислить значение второй производной в критических точках:
\[ y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 + \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 + \sqrt{21}) - 10 = 10 + 2\sqrt{21} - 10 = 2\sqrt{21} > 0 \] \[ y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 - \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 - \sqrt{21}) - 10 = 10 - 2\sqrt{21} - 10 = -2\sqrt{21} < 0 \]
7. Определить характер экстремума:
\[ y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) > 0 \implies \text{точка минимума} \] \[ y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) < 0 \implies \text{точка максимума} \]
8. Вычислить значения функции в точках экстремума:
\[ y\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) - 14 \] \[ y\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) - 14 \]

Ответ: x_{max}=2, x_{min}=3

Решение №13297: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \cos(x) \cos(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} (\cos(x) \cos(2x)) \]
2. Применить правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \cos(2x) \frac{d}{dx} (\cos(x)) + \cos(x) \frac{d}{dx} (\cos(2x)) \]
3. Найти производные каждого множителя: \[ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) \] \[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = -2\sin(2x) \]
4. Подставить производные в выражение для \( y' \): \[ y' = \cos(2x) (-\sin(x)) + \cos(x) (-2\sin(2x)) \] \[ y' = -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) = 0 \]
6. Расширить уравнение: \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) = 0 \] \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)(2\sin(x)\cos(x)) = 0 \] \[ -\cos(2x)\sin(x) - 4\cos^2(x)\sin(x) = 0 \] \[ \sin(x) (-\cos(2x) - 4\cos^2(x)) = 0 \]
7. Рассмотреть два случая: \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad -\cos(2x) - 4\cos^2(x) = 0 \]
8. Решить первый случай: \[ \sin(x) = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Решить второй случай: \[ -\cos(2x) - 4\cos^2(x) = 0 \] \[ -\cos(2x) = 4\cos^2(x) \] \[ \cos(2x) + 4\cos^2(x) = 0 \] \[ \cos(2x) = -4\cos^2(x) \] \[ 2\cos^2(x) - 1 = -4\cos^2(x) \] \[ 6\cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = \frac{1}{6} \] \[ \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \]
10. Найти значения \( x \): \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
11. Проверить вторую производную для определения характера критических точек: \[ y' = \frac{d}{dx} (-\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x)) \]
12. Найти вторую производную: \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 2\sin(x)\sin(2x) - 2(-\sin(2x)\sin(x) + \cos(x)2\cos(2x)) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 2\sin(x)\sin(2x) + 2\sin(2x)\sin(x) - 4\cos(x)\cos(2x) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 4\sin(x)\sin(2x) - 4\cos(x)\cos(2x) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 4\sin(x)\sin(2x) - 4\cos(x)\cos(2x) \]
13. Подставить критические точки в \( y' \) и определить характер: \[ \text{Если } y' > 0, \text{ то минимум} \] \[ \text{Если } y' < 0, \text{ то максимум} \]

Ответ: x_{max}=2\pi n, x_{max}=arccos\left ( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi k, x_{max}=-arccos\left ( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi m, k, m, n\in Z; x_{min}=arccos\left ( \frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi n, x_{min}=-arccos\left ( \frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi m, x_{min}=\pi +2\pi k, k, m, n\in Z

Решение №13298: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + 8 \sin x - 6 \cos x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8 \sin x - 6 \cos x) = 1 + 8 \cos x + 6 \sin x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 8 \cos x + 6 \sin x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 8 \cos x + 6 \sin x = -1 \]
4. Для упрощения выражения, перепишем его в виде:
\[ R \sin(x + \phi) = -1 \] где \( R = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \), \[ \sin \phi = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad \cos \phi = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
5. Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ 10 \sin(x + \phi) = -1 \implies \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \]
6. Решим уравнение \( \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \):
\[ x + \phi = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \phi = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим \( \phi \):
\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
8. Находим вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx}(1 + 8 \cos x + 6 \sin x) = -8 \sin x + 6 \cos x \]
9. Определим знак второй производной в критических точках:
\[ y'\left(\arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \quad \text{и} \quad y'\left(\pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \]
10. Если \( y' > 0 \), то это точка минимума, если \( y' < 0 \), то это точка максимума.

Ответ: x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi n, n\in Z; x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi k, k\in Z

Решение №13301: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = 6x + e^{-6x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x + e^{-6x}) = 6 - 6e^{-6x} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \implies \] \[ 6(1 - e^{-6x}) = 0 \implies \] \[ 1 - e^{-6x} = 0 \implies \] \[ e^{-6x} = 1 \]
4. Взять натуральный логарифм обеих частей уравнения:
\[ -6x = 0 \implies \] \[ x = 0 \]
5. Проверить поведение функции в окрестности критической точки \( x = 0 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 - 6e^{-6x}) = 36e^{-6x} \]
6. Определить знак второй производной в точке \( x = 0 \):
\[ y'(0) = 36e^{-6 \cdot 0} = 36 > 0 \]
7. Так как вторая производная положительна в точке \( x = 0 \), точка \( x = 0 \) является точкой минимума.
8. Вычислить значение функции в точке минимума:
\[ y(0) = 6 \cdot 0 + e^{-6 \cdot 0} = 1 \]

Ответ: x_{min}=0

Решение №13302: Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{1}{2}x^4 - 2x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = 2x^3 - 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x^3 - 2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x^3 - 2 = 0 \implies \] \[ 2(x^3 - 1) = 0 \implies \] \[ x^3 - 1 = 0 \implies \] \[ x^3 = 1 \implies \] \[ x = 1 \]
4. Проверить вторую производную функции \( y \) для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2) = 6x^2 \]
5. Оценить значение второй производной в критической точке \( x = 1 \):
\[ y'(1) = 6 \cdot 1^2 = 6 \]
6. Поскольку \( y'(1) > 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция имеет минимум.

Ответ: x_{min}=1

Решение №13303: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив на 12:
\[ x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \]
4. Факторизовать уравнение:
\[ (x-1)(x^2 - 1) = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = 0 \]
6. Получаем три корня:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
7. Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 36x^2 - 24x - 12 \]
8. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(1) = 36(1)^2 - 24(1) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0 \] \[ y'(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 12 = 36 + 24 - 12 = 48 \]
9. Анализировать значения второй производной:
\[ y'(1) = 0 \quad \text{(не дает информации о характере точки)} \] \[ y'(-1) > 0 \quad \text{(минимум)} \]
10. Для точки \( x = 1 \) используем первый тест производной:
\[ y' = 12(x-1)^2(x+1) \] \[ \text{При } x < 1, y' < 0 \quad \text{(убывает)} \] \[ \text{При } x > 1, y' > 0 \quad \text{(возрастает)} \] \[ \text{Точка } x = 1 \text{ является точкой минимума} \]
11. Заключение:
\[ \text{Точки экстремума: } x = 1 \text{ (минимум), } x = -1 \text{ (минимум)} \]

Ответ: x_{min}=-1

Решение №13304: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 4x + x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x + x^2) = 4 + 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4 + 2x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4 + 2x = 0 \implies \]
4. \[ 2x = -4 \implies \]
5. \[ x = -2 \]
6. Проверить характер критической точки, найдя вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(4x + x^2) = 2 \]
7. Поскольку вторая производная \( y' = 2 \) больше нуля, точка \( x = -2 \) является точкой минимума.
8. Найти значение функции в точке экстремума:
\[ y(-2) = 4(-2) + (-2)^2 = -8 + 4 = -4 \]

Ответ: x_{min}=-2

Решение №13306: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Разделим производную на две части:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) - \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) \]
3. Найдем производные каждой части:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Объединим производные:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
6. Вынесем \( 2x \) за скобку:
\[ 2x \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} \right) = 0 \]
7. Решим уравнение:
\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \]
8. Решение \( 2x = 0 \):
\[ x = 0 \]
9. Решение \( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \):
\[ \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \] \[ 17 = x^2 - 8 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = \pm 5 \]
10. Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции \( x^2 - 8 > 0 \):
\[ x > \sqrt{8} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{8} \]
11. Точки \( x = 0 \) и \( x = -5 \) не попадают в область определения. Точка \( x = 5 \) попадает.
12. Вычислим значения функции в критических точках:
\[ y(5) = \frac{5^2}{17} - \ln(5^2 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(25 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(17) \]
13. Сравним значения функции в критических точках и определим точки максимумов и минимумов:

Ответ: x_{min}=-5, x_{min}=5

Решение №13311: Для нахождения экстремумов функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 + 6x - 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив на 6:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
4. Решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
5. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
6. Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x - 12) = 12x + 6 \]
7. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(1) = 12(1) + 6 = 18 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-2) = 12(-2) + 6 = -18 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
8. Вычислить значения функции в критических точках:
\[ y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2 \] \[ y(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25 \]
9. Определить экстремумы:
\[ \text{Минимум: } y(1) = -2 \] \[ \text{Максимум: } y(-2) = 25 \]

Ответ: y_{max}=y(-2)=25, y_{min}=y(1)=-2