№3140

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}(x+4)\)

Ответ

y_{max}=y(-2)=8, y_{min}=y(2)=0

Решение № 3140:

Для нахождения экстремумов функции \( y = \frac{1}{4}(x-2)^2(x+4) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \frac{1}{4}(x-2)^2(x+4) \] Используем правило произведения и цепное правило для нахождения производной: \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \right] \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2(x^2 + 2x - 8) + (x^2 - 4x + 4) \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 2x^2 + 4x - 16 + x^2 - 4x + 4 \right] \] \[ y' = \frac{1}{4} \left[ 3x^2 - 12 \right] \] \[ y' = \frac{3}{4} (x^2 - 4) \] \[ y' = \frac{3}{4} (x - 2)(x + 2) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{3}{4} (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \] <li> Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную или анализ знака первой производной: </li> \[ y' = \frac{3}{4} (2x) = \frac{3}{2} x \] <li> Проверим знак второй производной в критических точках: </li> \[ y'(2) = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 > 0 \] \[ y'(-2) = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3 < 0 \] <li> Определить тип экстремумов: </li> \[ y'(2) > 0 \implies x = 2 \text{ является точкой минимума} \] \[ y'(-2) < 0 \implies x = -2 \text{ является точкой максимума} \] <li> Вычислить значения функции в точках экстремума: </li> \[ y(2) = \frac{1}{4}(2-2)^2(2+4) = \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot 6 = 0 \] \[ y(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2(-2+4) = \frac{1}{4} \cdot 16 \cdot 2 = 8 \] </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = 2 \), \( y = 0 \) <br> Точка максимума: \( x = -2 \), \( y = 8 \)