№13308

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=\frac{x^{2}}{17}-ln(x^{2}-8)\)

Ответ

x_{min}=-5, x_{min}=5

Решение № 13306:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \] <li> Разделим производную на две части: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) - \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) \] <li> Найдем производные каждой части: </li> \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 - 8} \] <li> Объединим производные: </li> \[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \] <li> Вынесем \( 2x \) за скобку: </li> \[ 2x \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} \right) = 0 \] <li> Решим уравнение: </li> \[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \] <li> Решение \( 2x = 0 \): </li> \[ x = 0 \] <li> Решение \( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \): </li> \[ \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \] \[ 17 = x^2 - 8 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = \pm 5 \] <li> Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции \( x^2 - 8 > 0 \): </li> \[ x > \sqrt{8} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{8} \] <li> Точки \( x = 0 \) и \( x = -5 \) не попадают в область определения. Точка \( x = 5 \) попадает. </li> <li> Вычислим значения функции в критических точках: </li> \[ y(5) = \frac{5^2}{17} - \ln(5^2 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(25 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(17) \] <li> Сравним значения функции в критических точках и определим точки максимумов и минимумов: </li> </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = 5 \) <br> Значение функции в точке минимума: \( y(5) = \frac{25}{17} - \ln(17) \)