№13293

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5\)

Ответ

x_{max}=-1, x_{min}=2

Решение № 13291:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 - 6x - 12 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] <li> Упростить уравнение, разделив все члены на 6: </li> \[ x^2 - x - 2 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] <li> Проверить значения производной вокруг критических точек для определения экстремумов: </li> <ul> <li> Для \( x = -1 \): </li> \[ y'(-1.1) = 6(-1.1)^2 - 6(-1.1) - 12 \approx 6.61 + 6.6 - 12 \approx 1.21 > 0 \] \[ y'(-0.9) = 6(-0.9)^2 - 6(-0.9) - 12 \approx 4.86 + 5.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] Следовательно, \( x = -1 \) является точкой локального максимума. </li> <li> Для \( x = 2 \): </li> \[ y'(1.9) = 6(1.9)^2 - 6(1.9) - 12 \approx 21.66 - 11.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] \[ y'(2.1) = 6(2.1)^2 - 6(2.1) - 12 \approx 26.46 - 12.6 - 12 \approx 1.86 > 0 \] Следовательно, \( x = 2 \) является точкой локального минимума. </li> </ul> <li> Вычислить значения функции в критических точках: </li> \[ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \] \[ f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \] </ol> Ответ: <br> Точка локального максимума: \( x = -1 \) с значением \( y = 12 \) <br> Точка локального минимума: \( x = 2 \) с значением \( y = -15 \)