№6997

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=6+12x-x^{3}\)

Ответ

x_{max}=2, x_{min}=-2

Решение № 6997:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 6 + 12x - x^3 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6 + 12x - x^3) = 12 - 3x^2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 12 - 3x^2 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 12 - 3x^2 = 0 \implies \] <li> \[ 3x^2 = 12 \implies \] </li> <li> \[ x^2 = 4 \implies \] </li> <li> \[ x = \pm 2 \] </li> <li> Проверить, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(12 - 3x^2) = -6x \] <li> Вычислить значения второй производной в критических точках: </li> \[ y'(2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0 \] \[ y'(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 > 0 \] <li> Определить характер точек экстремума: </li> <ul> <li> В точке \( x = 2 \): \( y'(2) < 0 \), следовательно, функция имеет локальный максимум. </li> <li> В точке \( x = -2 \): \( y'(-2) > 0 \), следовательно, функция имеет локальный минимум. </li> </ul> <li> Вычислить значения функции в точках экстремума: </li> \[ y(2) = 6 + 12 \cdot 2 - 2^3 = 6 + 24 - 8 = 22 \] \[ y(-2) = 6 + 12 \cdot (-2) - (-2)^3 = 6 - 24 + 8 = -10 \] </ol> Ответ: <br> Локальный максимум: \( y(2) = 22 \) <br> Локальный минимум: \( y(-2) = -10 \)