№7018

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=\sqrt{2x^{2}-x+2}\)

Ответ

y_{min}=y(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{15}{8}}

Решение № 7018:

Для нахождения экстремумов функции \( y = \sqrt{2x^2 - x + 2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x^2 - x + 2}\right) \] Используем правило дифференцирования для корня: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 2) \] Найдем производную подкоренного выражения: \[ \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 2) = 4x - 1 \] Подставим это в нашу формулу: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot (4x - 1) = \frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( 4x - 1 = 0 \): \[ 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} \] </li> <li> Проверить, является ли найденная точка экстремумом, используя вторую производную или анализ знаков первой производной: </li> <li> Найдем вторую производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x - 1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(4 \cdot 2\sqrt{2x^2 - x + 2}) - (4x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{2x^2 - x + 2})}{(2\sqrt{2x^2 - x + 2})^2} \] Найдем производную знаменателя: \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{2x^2 - x + 2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - x + 2}} \cdot (4x - 1) = \frac{4x - 1}{\sqrt{2x^2 - x + 2}} \] Подставим это в формулу второй производной: \[ y' = \frac{8\sqrt{2x^2 - x + 2} - (4x - 1) \cdot \frac{4x - 1}{\sqrt{2x^2 - x + 2}}}{4(2x^2 - x + 2)} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{8(2x^2 - x + 2) - (4x - 1)^2}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] \[ y' = \frac{16x^2 - 8x + 16 - (16x^2 - 8x + 1)}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] \[ y' = \frac{15}{4(2x^2 - x + 2)^{3/2}} \] Поскольку знаменатель всегда положителен, \( y' \) всегда положителен, что означает, что \( x = \frac{1}{4} \) является точкой минимума. </li> <li> Вычислить значение функции в критической точке: </li> \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 2} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{16}{8}} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{15}{8}} \] \[ y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{30}}{4} \] </li> </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = \frac{1}{4} \) <br> Значение функции в точке минимума: \( y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{30}}{4} \)