№13303

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=6x+e^{-6x}\)

Ответ

x_{min}=0

Решение № 13301:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = 6x + e^{-6x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6x + e^{-6x}) = 6 - 6e^{-6x} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \implies \] \[ 6(1 - e^{-6x}) = 0 \implies \] \[ 1 - e^{-6x} = 0 \implies \] \[ e^{-6x} = 1 \] <li> Взять натуральный логарифм обеих частей уравнения: </li> \[ -6x = 0 \implies \] \[ x = 0 \] <li> Проверить поведение функции в окрестности критической точки \( x = 0 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6 - 6e^{-6x}) = 36e^{-6x} \] <li> Определить знак второй производной в точке \( x = 0 \): </li> \[ y'(0) = 36e^{-6 \cdot 0} = 36 > 0 \] <li> Так как вторая производная положительна в точке \( x = 0 \), точка \( x = 0 \) является точкой минимума. </li> <li> Вычислить значение функции в точке минимума: </li> \[ y(0) = 6 \cdot 0 + e^{-6 \cdot 0} = 1 \] </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = 0 \) <br> Значение функции в точке минимума: \( y(0) = 1 \) Замечание: Для функции \( y = 6x + e^{-6x} \) нет точек максимума, так как функция убывает до минимума в точке \( x = 0 \) и затем возрастает.