№7008

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=\frac{x}{lnx}\)

Ответ

x_{min}=e

Решение № 7008:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x}{\ln x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \] </li> <li> Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} \] </li> <li> Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \] </li> <li> Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \] </li> <li> Решим уравнение относительно \( x \): \[ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \] </li> <li> Проверим, является ли точка \( x = e \) точкой экстремума, используя вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \] </li> <li> Вычислим вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \] </li> <li> Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 1) - (\ln x - 1) \cdot \frac{d}{dx}((\ln x)^2)}{((\ln x)^2)^2} \] </li> <li> Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - 1) = \frac{1}{x} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((\ln x)^2) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \] </li> <li> Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] </li> <li> Упростим выражение: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - 2 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] \[ y' = \frac{-\ln x + 2}{x (\ln x)^3} \] </li> <li> Оценим вторую производную в точке \( x = e \): \[ y'(e) = \frac{-\ln e + 2}{e (\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e} > 0 \] </li> <li> Так как вторая производная положительна в точке \( x = e \), точка \( x = e \) является точкой минимума. </li> </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = e \)