№7019

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=(x-1)^{5}\)

Ответ

нет экстемумов

Решение № 7019:

Для нахождения экстремумов функции \( y = (x-1)^5 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}((x-1)^5) = 5(x-1)^4 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 5(x-1)^4 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ (x-1)^4 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \] <li> Проверить вторую производную для определения характера критической точки: </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}((x-1)^5) = \frac{d}{dx}(5(x-1)^4) = 20(x-1)^3 \] <li> Подставить критическую точку \( x = 1 \) во вторую производную: </li> \[ y'(1) = 20(1-1)^3 = 20 \cdot 0^3 = 0 \] <li> Поскольку вторая производная в критической точке равна нулю, необходимо использовать первый признак для определения характера критической точки. Проверим знак первой производной слева и справа от критической точки \( x = 1 \): </li> \[ y'(x) = 5(x-1)^4 \] <li> Проверим знак \( y'(x) \) слева от \( x = 1 \) (например, \( x = 0.9 \)): </li> \[ y'(0.9) = 5(0.9-1)^4 = 5(-0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \] <li> Проверим знак \( y'(x) \) справа от \( x = 1 \) (например, \( x = 1.1 \)): </li> \[ y'(1.1) = 5(1.1-1)^4 = 5(0.1)^4 = 5 \cdot 0.0001 > 0 \] <li> Поскольку знак первой производной не меняется при переходе через критическую точку \( x = 1 \), функция не имеет экстремума в этой точке. </li> </ol> Заключение: <br> Функция \( y = (x-1)^5 \) не имеет экстремумов.