№6991

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}+x^{2}+4\)

Ответ

x_{max}=-1, x_{min}=0, x_{min}=-2

Решение № 6991:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2 + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 + x^3 + x^2 + 4\right) = x^3 + 3x^2 + 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ x^3 + 3x^2 + 2x = 0 \] <li> Вынести общий множитель \( x \): </li> \[ x(x^2 + 3x + 2) = 0 \] <li> Решить уравнение \( x = 0 \) и квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \): </li> \[ x = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] <li> Таким образом, критические точки функции \( y \) являются: </li> \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = -2 \] <li> Проверить, являются ли эти точки экстремумами, найдя вторую производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^3 + 3x^2 + 2x\right) = 3x^2 + 6x + 2 \] <li> Вычислить значения второй производной в критических точках: </li> \[ y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 2 = 2 \] \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \] \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 \] <li> Анализировать знаки второй производной: </li> - В точке \( x = 0 \), \( y'(0) = 2 > 0 \), следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума. - В точке \( x = -1 \), \( y'(-1) = -1 < 0 \), следовательно, \( x = -1 \) является точкой максимума. - В точке \( x = -2 \), \( y'(-2) = 2 > 0 \), следовательно, \( x = -2 \) является точкой минимума. </ol> Ответ: <br> Точки экстремума: \( x = 0 \) (минимум), \( x = -1 \) (максимум), \( x = -2 \) (минимум)