№13299

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=cosxcos2x\)

Ответ

x_{max}=2\pi n, x_{max}=arccos\left ( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi k, x_{max}=-arccos\left ( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi m, k, m, n\in Z; x_{min}=arccos\left ( \frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi n, x_{min}=-arccos\left ( \frac{1}{\sqrt{6}} \right )+2\pi m, x_{min}=\pi +2\pi k, k, m, n\in Z

Решение № 13297:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \cos(x) \cos(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} (\cos(x) \cos(2x)) \] <li> Применить правило произведения для нахождения производной: </li> \[ y' = \cos(2x) \frac{d}{dx} (\cos(x)) + \cos(x) \frac{d}{dx} (\cos(2x)) \] <li> Найти производные каждого множителя: \[ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) \] \[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = -2\sin(2x) \] <li> Подставить производные в выражение для \( y' \): \[ y' = \cos(2x) (-\sin(x)) + \cos(x) (-2\sin(2x)) \] \[ y' = -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) = 0 \] <li> Расширить уравнение: \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x) = 0 \] \[ -\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)(2\sin(x)\cos(x)) = 0 \] \[ -\cos(2x)\sin(x) - 4\cos^2(x)\sin(x) = 0 \] \[ \sin(x) (-\cos(2x) - 4\cos^2(x)) = 0 \] <li> Рассмотреть два случая: \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad -\cos(2x) - 4\cos^2(x) = 0 \] <li> Решить первый случай: \[ \sin(x) = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Решить второй случай: \[ -\cos(2x) - 4\cos^2(x) = 0 \] \[ -\cos(2x) = 4\cos^2(x) \] \[ \cos(2x) + 4\cos^2(x) = 0 \] \[ \cos(2x) = -4\cos^2(x) \] \[ 2\cos^2(x) - 1 = -4\cos^2(x) \] \[ 6\cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = \frac{1}{6} \] \[ \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \] <li> Найти значения \( x \): \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Проверить вторую производную для определения характера критических точек: \[ y' = \frac{d}{dx} (-\cos(2x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(2x)) \] <li> Найти вторую производную: \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 2\sin(x)\sin(2x) - 2(-\sin(2x)\sin(x) + \cos(x)2\cos(2x)) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 2\sin(x)\sin(2x) + 2\sin(2x)\sin(x) - 4\cos(x)\cos(2x) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 4\sin(x)\sin(2x) - 4\cos(x)\cos(2x) \] \[ y' = -\cos(2x)\cos(x) + 4\sin(x)\sin(2x) - 4\cos(x)\cos(2x) \] <li> Подставить критические точки в \( y' \) и определить характер: \[ \text{Если } y' > 0, \text{ то минимум} \] \[ \text{Если } y' < 0, \text{ то максимум} \] </ol> Ответ: <br> Точки максимумов и минимумов функции \( y = \cos(x) \cos(2x) \) находятся в точках \( x = k\pi \) и \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + 2k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).