№13289

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=x^{4}-2x^{3}-2x^{2}\)

Ответ

x_{max}=0, x_{min}=-\frac{1}{2}, x_{min}=2

Решение № 13287:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^4 - 2x^3 - 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^3 - 2x^2) = 4x^3 - 6x^2 - 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4x^3 - 6x^2 - 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель \( 2x \): </li> \[ 2x(2x^2 - 3x - 2) = 0 \] <li> Решить уравнение \( 2x = 0 \): </li> \[ x_1 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \] \[ x_3 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \] <li> Таким образом, критические точки функции \( y = x^4 - 2x^3 - 2x^2 \) являются \( x = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). </li> <li> Проверить, являются ли эти точки экстремумами, используя вторую производную: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x^2 - 4x) = 12x^2 - 12x - 4 \] <li> Вычислить значения второй производной в критических точках: </li> \[ y'(0) = 12(0)^2 - 12(0) - 4 = -4 \] \[ y'(2) = 12(2)^2 - 12(2) - 4 = 48 - 24 - 4 = 20 \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 12\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 12\left(-\frac{1}{2}\right) - 4 = 12 \cdot \frac{1}{4} + 6 - 4 = 3 + 6 - 4 = 5 \] <li> Интерпретировать результаты: </li> \[ y'(0) < 0 \implies x = 0 \text{ является точкой максимума} \] \[ y'(2) > 0 \implies x = 2 \text{ является точкой минимума} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) > 0 \implies x = -\frac{1}{2} \text{ является точкой минимума} \] </ol> Ответ: <br> Точки экстремума: \( x = 0 \) (максимум), \( x = 2 \) (минимум), \( x = -\frac{1}{2} \) (минимум).