№13305

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=3x^{4}-4x^{3}-6x^{2}+12x-8\)

Ответ

x_{min}=-1

Решение № 13303:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 = 0 \] <li> Упростить уравнение, разделив на 12: </li> \[ x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \] <li> Факторизовать уравнение: </li> \[ (x-1)(x^2 - 1) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ (x-1)(x-1)(x+1) = 0 \] <li> Получаем три корня: </li> \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \] <li> Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума, используя вторую производную: </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 36x^2 - 24x - 12 \] <li> Вычислить значения второй производной в критических точках: </li> \[ y'(1) = 36(1)^2 - 24(1) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0 \] \[ y'(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 12 = 36 + 24 - 12 = 48 \] <li> Анализировать значения второй производной: </li> \[ y'(1) = 0 \quad \text{(не дает информации о характере точки)} \] \[ y'(-1) > 0 \quad \text{(минимум)} \] <li> Для точки \( x = 1 \) используем первый тест производной: </li> \[ y' = 12(x-1)^2(x+1) \] \[ \text{При } x < 1, y' < 0 \quad \text{(убывает)} \] \[ \text{При } x > 1, y' > 0 \quad \text{(возрастает)} \] \[ \text{Точка } x = 1 \text{ является точкой минимума} \] <li> Заключение: </li> \[ \text{Точки экстремума: } x = 1 \text{ (минимум), } x = -1 \text{ (минимум)} \] </ol> Ответ: <br> Точки экстремума: \( x = 1 \) и \( x = -1 \)