№3123

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=-4x^{3}+3x^{2}+36x+5\)

Ответ

x_{max}=2, x_{min}=-\frac{3}{2}

Решение № 3123:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = -4x^3 + 3x^2 + 36x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -12x^2 + 6x + 36 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -12x^2 + 6x + 36 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение относительно \( x \): </li> \[ 12x^2 - 6x - 36 = 0 \] <li> Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] <li> Подставить значения \( a = 12 \), \( b = -6 \), \( c = -36 \): </li> \[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-36)}}{2 \cdot 12} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm 42}{24} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{6 + 42}{24} = \frac{48}{24} = 2 \] \[ x_2 = \frac{6 - 42}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} \] <li> Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума: </li> <li> Вычислить вторую производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -24x + 6 \] <li> Определить знак второй производной в критических точках: </li> \[ y'(2) = -24 \cdot 2 + 6 = -48 + 6 = -42 \] \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = -24 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 6 = 36 + 6 = 42 \] <li> Так как \( y'(2) < 0 \), точка \( x = 2 \) является точкой максимума. </li> <li> Так как \( y'\left(-\frac{3}{2}\right) > 0 \), точка \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой минимума. </li> </ol> Ответ: <br> Точка максимума: \( x = 2 \) <br> Точка минимума: \( x = -\frac{3}{2} \)