№13300

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=x+8sinx-6cosx\)

Ответ

x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi n, n\in Z; x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi k, k\in Z

Решение № 13298:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + 8 \sin x - 6 \cos x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8 \sin x - 6 \cos x) = 1 + 8 \cos x + 6 \sin x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 1 + 8 \cos x + 6 \sin x = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 8 \cos x + 6 \sin x = -1 \] <li> Для упрощения выражения, перепишем его в виде: </li> \[ R \sin(x + \phi) = -1 \] где \( R = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \), \[ \sin \phi = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad \cos \phi = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] <li> Таким образом, уравнение принимает вид: </li> \[ 10 \sin(x + \phi) = -1 \implies \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \] <li> Решим уравнение \( \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \): </li> \[ x + \phi = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \phi = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Подставим \( \phi \): </li> \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Находим вторую производную для определения характера критических точек: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(1 + 8 \cos x + 6 \sin x) = -8 \sin x + 6 \cos x \] <li> Определим знак второй производной в критических точках: </li> \[ y'\left(\arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \quad \text{и} \quad y'\left(\pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \] <li> Если \( y' > 0 \), то это точка минимума, если \( y' < 0 \), то это точка максимума. </li> </ol> Ответ: <br> Точки максимумов и минимумов функции \( y = x + 8 \sin x - 6 \cos x \) находятся в точках: <br> \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]