№6992

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=arcsin\frac{2x}{1+x^{2}}\)

Ответ

x_{max}=1, x_{min}=-1

Решение № 6992:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \arcsin \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \arcsin \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) = \frac{2(1 + x^2) - 2x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \] Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)^2}} \cdot \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} = 0 \): \[ 2(1 - x^2) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] <li> Проверить значения функции в критических точках: </li> \[ y(1) = \arcsin \left( \frac{2 \cdot 1}{1 + 1^2} \right) = \arcsin \left( \frac{2}{2} \right) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \] \[ y(-1) = \arcsin \left( \frac{2 \cdot (-1)}{1 + (-1)^2} \right) = \arcsin \left( \frac{-2}{2} \right) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \] <li> Исследовать поведение функции в окрестностях критических точек для определения максимумов и минимумов: </li> Производная \( y' \) меняет знак в точках \( x = \pm 1 \), что указывает на экстремумы. В точке \( x = 1 \): \[ y' \text{меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на максимум} \] В точке \( x = -1 \): \[ y' \text{меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на минимум} \] <li> Заключение: </li> \[ \text{Точка } x = 1 \text{ является точкой максимума, и } y(1) = \frac{\pi}{2} \] \[ \text{Точка } x = -1 \text{ является точкой минимума, и } y(-1) = -\frac{\pi}{2} \] </ol> Ответ: <br> Точка максимума: \( x = 1 \) <br> Точка минимума: \( x = -1 \)