№3122

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=4x-x^{2}\)

Ответ

2

Решение № 3122:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 4x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4 - 2x = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4 - 2x = 0 \implies 4 = 2x \implies x = 2 \] <li> Проверить вторую производную для определения характера экстремума: </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(4x - x^2) = \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2 \] <li> Поскольку \( y' = -2 \) отрицательна, точка \( x = 2 \) является точкой максимума. </li> <li> Вычислить значение функции в точке экстремума: </li> \[ y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \] </ol> Ответ: <br> Точка экстремума: \( x = 2 \) <br> Значение функции в точке экстремума: \( y(2) = 4 \)