№13287

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=x+sin2x\)

Ответ

x_{max}=\frac{\pi }{3}+\pi k, x_{min}=-\frac{\pi }{3}+\pi n, k, n\in Z

Решение № 13285:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + \sin(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x + \sin(2x)) = 1 + 2\cos(2x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 1 + 2\cos(2x) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2\cos(2x) = -1 \implies \] <li> \[ \cos(2x) = -\frac{1}{2} \] </li> <li> Найти углы, при которых косинус равен \(-\frac{1}{2}\): </li> \[ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Разделить на 2, чтобы найти \( x \): </li> \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума: </li> \[ \text{Возьмем } k = 0 \text{ и } k = 1: \] \[ x = \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в этих точках: </li> \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} + \sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] <li> Сравнить полученные значения и определить точки максимумов и минимумов: </li> \[ \text{Точки максимумов: } x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \] \[ \text{Точки минимумов: } x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \] </ol> Ответ: <br> Точки максимумов: \( x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \) <br> Точки минимумов: \( x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \)