№13313

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти экстремумы функций\(y=2x^{3}+3x^{2}-12x+5\)

Ответ

y_{max}=y(-2)=25, y_{min}=y(1)=-2

Решение № 13311:

Для нахождения экстремумов функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 + 6x - 12 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \] <li> Упростить уравнение, разделив на 6: </li> \[ x^2 + x - 2 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] <li> Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x - 12) = 12x + 6 \] <li> Вычислить значения второй производной в критических точках: </li> \[ y'(1) = 12(1) + 6 = 18 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-2) = 12(-2) + 6 = -18 < 0 \quad \text{(максимум)} \] <li> Вычислить значения функции в критических точках: </li> \[ y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2 \] \[ y(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25 \] <li> Определить экстремумы: </li> \[ \text{Минимум: } y(1) = -2 \] \[ \text{Максимум: } y(-2) = 25 \] </ol> Ответ: <br> Минимум: \( y(1) = -2 \) <br> Максимум: \( y(-2) = 25 \)