№13304

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=\frac{1}{2}x^{4}-2x\)

Ответ

x_{min}=1

Решение № 13302:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{1}{2}x^4 - 2x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = 2x^3 - 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x^3 - 2 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2x^3 - 2 = 0 \implies \] \[ 2(x^3 - 1) = 0 \implies \] \[ x^3 - 1 = 0 \implies \] \[ x^3 = 1 \implies \] \[ x = 1 \] <li> Проверить вторую производную функции \( y \) для определения характера критической точки: </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2) = 6x^2 \] <li> Оценить значение второй производной в критической точке \( x = 1 \): </li> \[ y'(1) = 6 \cdot 1^2 = 6 \] <li> Поскольку \( y'(1) > 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция имеет минимум. </li> </ol> Ответ: <br> Точка экстремума: \( x = 1 \) (локальный минимум)