№13288

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=-5x^{2}-2x+2\)

Ответ

x_{max}=-\frac{1}{5}

Решение № 13286:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = -5x^2 - 2x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-5x^2 - 2x + 2) = -10x - 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -10x - 2 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ -10x - 2 = 0 \implies -10x = 2 \implies x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} \] <li> Проверить, является ли найденная точка точкой экстремума, используя вторую производную: </li> \[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(-5x^2 - 2x + 2) = -10 \] <li> Поскольку вторая производная \( y' = -10 \) отрицательна, точка \( x = -\frac{1}{5} \) является точкой максимума. </li> <li> Найти значение функции в точке экстремума: </li> \[ y\left(-\frac{1}{5}\right) = -5\left(-\frac{1}{5}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{5}\right) + 2 \] \[ = -5\left(\frac{1}{25}\right) + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = -\frac{5}{25} + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + 2 \] \[ = \frac{1}{5} + 2 \] \[ = \frac{1}{5} + \frac{10}{5} \] \[ = \frac{11}{5} \] </ol> Ответ: <br> Точка экстремума: \( x = -\frac{1}{5} \) <br> Значение функции в точке экстремума: \( y = \frac{11}{5} \)