№13298

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=\frac{2}{3}x^{3}-5x^{2}+2x-14\)

Ответ

x_{max}=2, x_{min}=3

Решение № 13296:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14\right) = 2x^2 - 10x + 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x^2 - 10x + 2 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 10x + 2 = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = -10 \), \( c = 2 \): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{4} \] <li> Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \] \[ x_2 = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \] </li> <li> Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума, используя вторую производную \( y' \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 10x + 2) = 4x - 10 \] <li> Вычислить значение второй производной в критических точках: </li> \[ y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 + \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 + \sqrt{21}) - 10 = 10 + 2\sqrt{21} - 10 = 2\sqrt{21} > 0 \] \[ y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 - \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 - \sqrt{21}) - 10 = 10 - 2\sqrt{21} - 10 = -2\sqrt{21} < 0 \] <li> Определить характер экстремума: </li> \[ y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) > 0 \implies \text{точка минимума} \] \[ y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) < 0 \implies \text{точка максимума} \] <li> Вычислить значения функции в точках экстремума: </li> \[ y\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) - 14 \] \[ y\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) - 14 \] </li> </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \) <br> Точка максимума: \( x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \)