Решение №3100:

1. Найти производную функции \( f(x) = e^{\cos x} \sin x \):
Для нахождения производной используем правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) \sin x + e^{\cos x} \frac{d}{dx} (\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] Таким образом, \[ f'(x) = e^{\cos x} (-\sin x) \sin x + e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x) \]
2. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \):
\[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{\cos \left( \frac{3\pi}{2} \right)} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right) \] Найдем значения тригонометрических функций в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 \] Подставим эти значения в выражение для производной: \[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{0} \left( 0 - (-1)^2 \right) = 1 \left( 0 - 1 \right) = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3108: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - 2x \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения функции с осями координат.
2. Найти точки пересечения с осью \( OX \):
\[ f(x) = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]
3. Найти точку пересечения с осью \( OY \):
\[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \]
4. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \]
5. Вычислить производную в найденных точках пересечения:
6. В точке \( x = 0 \):
\[ f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \]
7. В точке \( x = 2 \):
\[ f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \]

Ответ: f^{'}(0)=-2, f^{'}(2)=2

Решение №3109: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 \) в точках пересечения с графиком \( y = 6x - 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков \( f(x) = x^2 \) и \( y = 6x - 9 \).
2. Решить уравнение \( x^2 = 6x - 9 \):
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение:
\[ (x - 3)^2 = 0 \]
4. Получить решение:
\[ x = 3 \]
5. Найти значение функции \( f(x) \) в точке \( x = 3 \):
\[ f(3) = 3^2 = 9 \]
6. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x = 3 \):
\[ f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \]

Ответ: f^{'}(3)=-6

Решение №3110: Для нахождения значений производной функции \( f(x) = \frac{x-1}{x^2+1} \) в заданных точках \( x_0 = 0 \) и \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x^2+1} \right) \]
2. Применить правило производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) - (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \]
3. Найти производные числителя и знаменателя:
\[ \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \]
4. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} \]
6. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 + 1}{(0^2+1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\[ f'(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1 + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1 + 2 + 1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Ответ: f^{'}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+2)^{2}}, f^{'}(0)=1, f^{'}(1)=\frac{1}{2}

Решение №3111: Для нахождения производной функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x)) = -2\sin(2x) \]
2. Найти точки пересечения функции с осями:
• Для оси \( O_x \):
\[ f(x) = 0 \implies 1 + \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1 \]
• Решить уравнение \( \cos(2x) = -1 \):
\[ 2x = \pi + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Точки пересечения с осью \( O_x \) имеют координаты:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Для оси \( O_y \):
\[ x = 0 \]
• Точка пересечения с осью \( O_y \) имеет координаты:
\[ (0, f(0)) = (0, 1 + \cos(0)) = (0, 2) \]
3. Вычислить производную в найденных точках:
• Для точек на оси \( O_x \):
\[ f'(x) = -2\sin(2x) \]
• Подставим \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = -2\sin(\pi + 2k\pi) = -2\sin(\pi) = 0 \]
• Для точки на оси \( O_y \):
\[ f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = 0 \]
4. Сравнить полученные значения производной в точках пересечения с осями:
• В точках пересечения с осью \( O_x \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \]
• В точке пересечения с осью \( O_y \):
\[ f'(0) = 0 \]

Ответ: f^{'}(x)=-2sin2x, f^{'}(0)=0, f^{'}\left ( \frac{\pi }{2}+\pi k \right )=0

Решение №3152: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{3}x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \]
2. Разделить функцию на части и найти производную каждой части:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\right) + \frac{d}{dx}(2) \]
3. Найти производную первой части:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\right) = \frac{1}{3} \]
4. Найти производную второй части:
\[ \frac{d}{dx}(2) = 0 \]
5. Сложить производные обеих частей:
\[ f'(x) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{3}\)

Решение №3154: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2x - \frac{1}{4} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = 2x - \frac{1}{4} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - \frac{1}{4}) \]
3. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}) \]
4. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}) = 0 \]
5. Объединить результаты:
\[ f'(x) = 2 - 0 = 2 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2\)

Решение №3160: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{2}x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{2}x + 2\right) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) + \frac{d}{dx}(2) \]
3. Дифференцировать каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2\right) = \frac{2}{9}x \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{d}{dx}(2) = 0 \]
4. Объединить результаты:
\[ f'(x) = \frac{2}{9}x - \frac{1}{2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{9}x-\frac{1}{2}\)

Решение №3162: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = x^2 - x \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x) \]
3. Применить правила дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) \]
4. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]
5. Сложить результаты:
\[ f'(x) = 2x - 1 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x-1\)

Решение №3163: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2x - 4x^2 - 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 4x^2 - 5) \]
2. Применить правила дифференцирования к каждому слагаемому:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(4x^2) - \frac{d}{dx}(5) \]
3. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x \] \[ \frac{d}{dx}(5) = 0 \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 2 - 8x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-8x+2\)

Решение №3166: Для нахождения производной функции \( f(x) = -2x^2 - \frac{5}{3}x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-2x^2 - \frac{5}{3}x\right) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-2x^2\right) + \frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x\right) \]
3. Найти производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(-2x^2\right) = -2 \cdot 2x = -4x \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x\right) = -\frac{5}{3} \cdot 1 = -\frac{5}{3} \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = -4x - \frac{5}{3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=4x-\frac{5}{3}\)

Решение №3169: Для нахождения производных функции \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1\right) \]
2. Применим правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) - \frac{d}{dx}(1) \]
3. Дифференцируем каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3\right) = \frac{3}{2}x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x \] \[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \]
4. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + 3x \]
5. Найти вторую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2 + 3x\right) \]
6. Применим правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(3x) \]
7. Дифференцируем каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x \] \[ \frac{d}{dx}(3x) = 3 \]
8. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = 3x + 3 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\)

Решение №3173: Для нахождения производной функции \( f(x) = -2x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим функцию на отдельные слагаемые и найдем производную каждого слагаемого:
\[ f(x) = -2x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}x^2 \]
2. Найдем производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{2}x^2\right) = -7x \]
3. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = -6x^2 + \frac{1}{2} - 7x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-6x^{2}-7x+\frac{1}{2}\)

Решение №3177: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать исходную функцию:
\[ f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \]
2. Найти производную каждого слагаемого функции:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x^5\right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3 \] \[ \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right) = -3 \cdot 2x = -6x \] \[ \frac{d}{dx}(9) = 0 \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = x^4 + x^3 - 6x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=x^{4}+x^{3}-6x\)

Решение №3182: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) = \sqrt{x} \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) \]
2. Переписать функцию в виде степени:
\[ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \]
3. Применить правило дифференцирования для степенной функции \( x^n \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1} \]
4. Подставить \( n = \frac{1}{2} \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]
5. Переписать производную в виде дроби:
\[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Решение №3187: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2} \).
2. Найдем производную каждого слагаемого в отдельности:
3. Производная первого слагаемого \( x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
4. Производная второго слагаемого \( -\frac{1}{x^2} \):
\[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) \]
5. Используем правило дифференцирования степенной функции:
\[ \frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \]
6. Таким образом, производная второго слагаемого:
\[ -\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) = \frac{2}{x^3} \]
7. Теперь сложим производные каждого слагаемого:
\[ f'(x) = 2x + \frac{2}{x^3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x+\frac{2}{x^{3}}\)

Решение №3213: Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x+1)^2(x-1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = (2x+1)^2(x-1) \]
2. Применить правило производной произведения функций. Если \( u(x) = (2x+1)^2 \) и \( v(x) = (x-1) \), то производная \( f(x) \) будет:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u(x) = (2x+1)^2 \implies u'(x) = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1) \] \[ v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1 \]
4. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \cdot 1 \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \] \[ = 4(2x^2 + x - 2x - 1) + (4x^2 + 4x + 1) \] \[ = 4(2x^2 - x - 1) + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 8x^2 - 4x - 4 + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 12x^2 + 1 \]
6. Итак, производная функции \( f(x) \) равна:
\[ f'(x) = 12x^2 + 1 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3(4x^{2}-1)\)

Решение №3219: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x+5}{x-1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило производной частного для функции вида \( \frac{u(x)}{v(x)} \):
\[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]
2. Определить \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u(x) = x + 5, \quad v(x) = x - 1 \]
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( v(x) \), \( u'(x) \) и \( v'(x) \) в формулу производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(x + 5)'(x - 1) - (x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 5) \cdot 1}{(x - 1)^2} \]
5. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2} \]
6. Итоговая производная функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = -\frac{6}{(x - 1)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{6}{(x-1)^{2}}\)

Решение №3220: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{3x - 7}{2x + 9} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования частного двух функций. Если \( u(x) \) и \( v(x) \) — дифференцируемые функции, то: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
2. Определить \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u(x) = 3x - 7, \quad v(x) = 2x + 9 \]
3. Найти производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 3, \quad v'(x) = 2 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного: \[ f'(x) = \frac{(3)(2x + 9) - (3x - 7)(2)}{(2x + 9)^2} \]
5. Выполнить вычисления в числителе: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - (6x - 14)}{(2x + 9)^2} \]
6. Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - 6x + 14}{(2x + 9)^2} = \frac{41}{(2x + 9)^2} \]
7. Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = \frac{41}{(2x + 9)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{41}{(2x+9)^{2}}\)

Решение №3222: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{x^2}{x+1} \]
2. Применить правило дифференцирования частного: если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] где \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = x + 1 \).
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} \]
5. Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
6. Записать окончательный результат: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}\)

Решение №3237: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 2x \), тогда \( f(x) = \cos(u) \).
2. Найти производную \( \cos(u) \) по \( u \):
\[ \frac{d}{du} (\cos(u)) = -\sin(u) \]
3. Найти производную \( u = 2x \) по \( x \):
\[ \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]
4. Применить правило дифференцирования сложной функции:
\[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = \frac{d}{du} (\cos(u)) \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot 2 \]
5. Подставить \( u = 2x \) обратно:
\[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = -2 \sin(2x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-2sin2x\)

Решение №3249: Для нахождения производной функции \( f(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \tan(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило производной произведения двух функций:
\[ f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x) \] где \( u(x) = \frac{1}{2} + x \) и \( v(x) = \tan(x) \).
2. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + x \right) = 1 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx} \left( \tan(x) \right) = \sec^2(x) \]
3. Подставить найденные производные в формулу производной произведения:
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \cdot \sec^2(x) + 1 \cdot \tan(x) \]
4. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \sec^2(x) + \tan(x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=tgx+\frac{2x+1}{2cos^{2}x}\)

Решение №3258: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \]
2. Найти производную функции \( f(x) \). Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \right) \]
3. Применим правило цепочки. Пусть \( u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \). Тогда:
\[ f(x) = \sin(u) \] \[ \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
4. Найдем производную \( u \) по \( x \):
\[ u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \] \[ \frac{du}{dx} = 2x + \frac{7}{2} \]
5. Теперь подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в выражение для производной:
\[ f'(x) = \cos\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \cdot (2x + \frac{7}{2}) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\left ( 2x+\frac{7}{2} \right )cos\left ( x^{2}+\frac{7}{2}x+1 \right )\)

Решение №3259: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \]
2. Вспомним, что производная котангенса \( \operatorname{ctg}(u) \) относительно \( u \) равна \( -\operatorname{csc}^2(u) \).
3. Найдем производную внутренней функции \( u = 1 - 3x - x^2 \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(1 - 3x - x^2) = -3 - 2x \]
4. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочного правила):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(u) = -\operatorname{csc}^2(u) \cdot u' \]
5. Подставим \( u = 1 - 3x - x^2 \) и \( u' = -3 - 2x \):
\[ f'(x) = -\operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \cdot (-3 - 2x) \]
6. Упростим выражение:
\[ f'(x) = (3 + 2x) \cdot \operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3+2x}{sin^{2}(1-3x-x^{2})}\)

Решение №3262: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(3x) + \cos(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x) + \cos(3x)) \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) \] \[ \frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x) \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 3\cos(3x) - 3\sin(3x) \]
4. Вынести общий множитель:
\[ f'(x) = 3(\cos(3x) - \sin(3x)) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3(cos3x-sin3x)\)

Решение №3263: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = \sin(3x) \), тогда \( f(x) = u^2 \).
2. Найти производную \( u \):
\[ u = \sin(3x) \implies u' = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3 \cos(3x) \]
3. Найти производную \( f(x) \) по правилу цепочки:
\[ f(x) = u^2 \implies f'(x) = 2u \cdot u' \]
4. Подставить \( u \) и \( u' \) в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \]
6. Использовать тригонометрическую идентификацию:
\[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \]
7. Заметим, что \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \cdot 2 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \sin(6x) \):
\[ f'(x) = 3 \sin(6x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3sin6x\)

Решение №3267: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вспомним, что \( \operatorname{ctg}(3x) = \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \).
2. Применим правило дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \left( \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \right)' = \frac{(\cos(3x))' \sin(3x) - \cos(3x) (\sin(3x))'}{\sin^2(3x)} \]
3. Найдем производные \( \cos(3x) \) и \( \sin(3x) \):
\[ (\cos(3x))' = -3 \sin(3x) \] \[ (\sin(3x))' = 3 \cos(3x) \]
4. Подставим найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(-3 \sin(3x)) \sin(3x) - \cos(3x) (3 \cos(3x))}{\sin^2(3x)} \]
5. Упростим выражение:
\[ f'(x) = \frac{-3 \sin^2(3x) - 3 \cos^2(3x)}{\sin^2(3x)} \]
6. Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2(3x) + \cos^2(3x) = 1 \):
\[ f'(x) = \frac{-3 (\sin^2(3x) + \cos^2(3x))}{\sin^2(3x)} = \frac{-3 \cdot 1}{\sin^2(3x)} = \frac{-3}{\sin^2(3x)} \]
7. Заменим \( \sin(3x) \) на \( \operatorname{tg}(3x) \):
\[ f'(x) = \frac{-3}{\sin^2(3x)} = -3 \operatorname{cosec}^2(3x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{3}{sin^{2}3x}\)

Решение №3269: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(2x + 7) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \cos(2x + 7) \]
2. Применить правило дифференцирования составной функции (цепочку):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \cos(2x + 7) \]
3. Использовать производную функции \( \cos(u) \), где \( u = 2x + 7 \):
\[ \frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
4. Найти производную внутренней функции \( u = 2x + 7 \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x + 7) = 2 \]
5. Подставить \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу производной:
\[ f'(x) = -\sin(2x + 7) \cdot 2 = -2 \sin(2x + 7) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-2sin(2x+7)\)

Решение №3270: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную первого слагаемого \( 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \):
2. Используем цепное правило дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx} \left[ 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right] = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \] \[ = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \]
3. Найти производную второго слагаемого \( \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \):
4. Используем правило произведения и цепное правило дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \right] = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \]
5. Сложить производные двух слагаемых:
\[ f'(x) = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{3x}{4}cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )\)

Решение №3271: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 + \sin(-2x - 1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(x) \):
\[ f(x) = x^2 + \sin(-2x - 1) \]
2. Найти производную первого слагаемого \( x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
3. Найти производную второго слагаемого \( \sin(-2x - 1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) \]
4. Использовать цепное правило для нахождения производной \( \sin(-2x - 1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) = \cos(-2x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(-2x - 1) \]
5. Найти производную аргумента \( -2x - 1 \):
\[ \frac{d}{dx}(-2x - 1) = -2 \]
6. Подставить полученные значения:
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) = \cos(-2x - 1) \cdot (-2) = -2 \cos(-2x - 1) \]
7. Сложить производные каждого слагаемого:
\[ f'(x) = 2x - 2 \cos(-2x - 1) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x-2cos(-2x-1)\)