№3213

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=(2x+1)^{2}(x-1)\)

Ответ

\(f^{'}(x)=3(4x^{2}-1)\)

Решение № 3213:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x+1)^2(x-1) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = (2x+1)^2(x-1) \] <li> Применить правило производной произведения функций. Если \( u(x) = (2x+1)^2 \) и \( v(x) = (x-1) \), то производная \( f(x) \) будет: </li> \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] <li> Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): </li> \[ u(x) = (2x+1)^2 \implies u'(x) = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1) \] \[ v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1 \] <li> Подставить найденные производные в формулу: </li> \[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \cdot 1 \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \] \[ = 4(2x^2 + x - 2x - 1) + (4x^2 + 4x + 1) \] \[ = 4(2x^2 - x - 1) + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 8x^2 - 4x - 4 + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 12x^2 + 1 \] <li> Итак, производная функции \( f(x) \) равна: </li> \[ f'(x) = 12x^2 + 1 \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = (2x+1)^2(x-1) \) равна \( f'(x) = 12x^2 + 1 \).