№3219

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{x+5}{x-1}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{6}{(x-1)^{2}}\)

Решение № 3219:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x+5}{x-1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Применить правило производной частного для функции вида \( \frac{u(x)}{v(x)} \): </li> \[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] <li> Определить \( u(x) \) и \( v(x) \): </li> \[ u(x) = x + 5, \quad v(x) = x - 1 \] <li> Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): </li> \[ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 \] <li> Подставить \( u(x) \), \( v(x) \), \( u'(x) \) и \( v'(x) \) в формулу производной частного: </li> \[ f'(x) = \frac{(x + 5)'(x - 1) - (x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 5) \cdot 1}{(x - 1)^2} \] <li> Упростить числитель: </li> \[ f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2} \] <li> Итоговая производная функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = -\frac{6}{(x - 1)^2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{6}{(x - 1)^2} \]