№3220

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{3x-7}{2x+9}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{41}{(2x+9)^{2}}\)

Решение № 3220:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{3x - 7}{2x + 9} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Применить правило дифференцирования частного двух функций. Если \( u(x) \) и \( v(x) \) — дифференцируемые функции, то: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] </li> <li> Определить \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u(x) = 3x - 7, \quad v(x) = 2x + 9 \] </li> <li> Найти производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 3, \quad v'(x) = 2 \] </li> <li> Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного: \[ f'(x) = \frac{(3)(2x + 9) - (3x - 7)(2)}{(2x + 9)^2} \] </li> <li> Выполнить вычисления в числителе: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - (6x - 14)}{(2x + 9)^2} \] </li> <li> Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - 6x + 14}{(2x + 9)^2} = \frac{41}{(2x + 9)^2} \] </li> <li> Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = \frac{41}{(2x + 9)^2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{3x - 7}{2x + 9} \) равна \( f'(x) = \frac{41}{(2x + 9)^2} \).