Решение №3237: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 2x \), тогда \( f(x) = \cos(u) \).
2. Найти производную \( \cos(u) \) по \( u \):
\[ \frac{d}{du} (\cos(u)) = -\sin(u) \]
3. Найти производную \( u = 2x \) по \( x \):
\[ \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]
4. Применить правило дифференцирования сложной функции:
\[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = \frac{d}{du} (\cos(u)) \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot 2 \]
5. Подставить \( u = 2x \) обратно:
\[ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = -2 \sin(2x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-2sin2x\)

Решение №3249: Для нахождения производной функции \( f(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \tan(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило производной произведения двух функций:
\[ f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x) \] где \( u(x) = \frac{1}{2} + x \) и \( v(x) = \tan(x) \).
2. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + x \right) = 1 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx} \left( \tan(x) \right) = \sec^2(x) \]
3. Подставить найденные производные в формулу производной произведения:
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \cdot \sec^2(x) + 1 \cdot \tan(x) \]
4. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{2} + x \right) \sec^2(x) + \tan(x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=tgx+\frac{2x+1}{2cos^{2}x}\)

Решение №3258: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \]
2. Найти производную функции \( f(x) \). Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \right) \]
3. Применим правило цепочки. Пусть \( u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \). Тогда:
\[ f(x) = \sin(u) \] \[ \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
4. Найдем производную \( u \) по \( x \):
\[ u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \] \[ \frac{du}{dx} = 2x + \frac{7}{2} \]
5. Теперь подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в выражение для производной:
\[ f'(x) = \cos\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \cdot (2x + \frac{7}{2}) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\left ( 2x+\frac{7}{2} \right )cos\left ( x^{2}+\frac{7}{2}x+1 \right )\)

Решение №3259: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \]
2. Вспомним, что производная котангенса \( \operatorname{ctg}(u) \) относительно \( u \) равна \( -\operatorname{csc}^2(u) \).
3. Найдем производную внутренней функции \( u = 1 - 3x - x^2 \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(1 - 3x - x^2) = -3 - 2x \]
4. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочного правила):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(u) = -\operatorname{csc}^2(u) \cdot u' \]
5. Подставим \( u = 1 - 3x - x^2 \) и \( u' = -3 - 2x \):
\[ f'(x) = -\operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \cdot (-3 - 2x) \]
6. Упростим выражение:
\[ f'(x) = (3 + 2x) \cdot \operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3+2x}{sin^{2}(1-3x-x^{2})}\)

Решение №3262: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(3x) + \cos(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x) + \cos(3x)) \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) \] \[ \frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x) \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 3\cos(3x) - 3\sin(3x) \]
4. Вынести общий множитель:
\[ f'(x) = 3(\cos(3x) - \sin(3x)) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3(cos3x-sin3x)\)

Решение №3263: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = \sin(3x) \), тогда \( f(x) = u^2 \).
2. Найти производную \( u \):
\[ u = \sin(3x) \implies u' = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3 \cos(3x) \]
3. Найти производную \( f(x) \) по правилу цепочки:
\[ f(x) = u^2 \implies f'(x) = 2u \cdot u' \]
4. Подставить \( u \) и \( u' \) в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \]
6. Использовать тригонометрическую идентификацию:
\[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \]
7. Заметим, что \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \cdot 2 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \sin(6x) \):
\[ f'(x) = 3 \sin(6x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3sin6x\)

Решение №3267: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вспомним, что \( \operatorname{ctg}(3x) = \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \).
2. Применим правило дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \left( \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \right)' = \frac{(\cos(3x))' \sin(3x) - \cos(3x) (\sin(3x))'}{\sin^2(3x)} \]
3. Найдем производные \( \cos(3x) \) и \( \sin(3x) \):
\[ (\cos(3x))' = -3 \sin(3x) \] \[ (\sin(3x))' = 3 \cos(3x) \]
4. Подставим найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(-3 \sin(3x)) \sin(3x) - \cos(3x) (3 \cos(3x))}{\sin^2(3x)} \]
5. Упростим выражение:
\[ f'(x) = \frac{-3 \sin^2(3x) - 3 \cos^2(3x)}{\sin^2(3x)} \]
6. Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2(3x) + \cos^2(3x) = 1 \):
\[ f'(x) = \frac{-3 (\sin^2(3x) + \cos^2(3x))}{\sin^2(3x)} = \frac{-3 \cdot 1}{\sin^2(3x)} = \frac{-3}{\sin^2(3x)} \]
7. Заменим \( \sin(3x) \) на \( \operatorname{tg}(3x) \):
\[ f'(x) = \frac{-3}{\sin^2(3x)} = -3 \operatorname{cosec}^2(3x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{3}{sin^{2}3x}\)

Решение №3269: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(2x + 7) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \cos(2x + 7) \]
2. Применить правило дифференцирования составной функции (цепочку):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \cos(2x + 7) \]
3. Использовать производную функции \( \cos(u) \), где \( u = 2x + 7 \):
\[ \frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
4. Найти производную внутренней функции \( u = 2x + 7 \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x + 7) = 2 \]
5. Подставить \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу производной:
\[ f'(x) = -\sin(2x + 7) \cdot 2 = -2 \sin(2x + 7) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-2sin(2x+7)\)

Решение №3270: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную первого слагаемого \( 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \):
2. Используем цепное правило дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx} \left[ 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right] = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \] \[ = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \]
3. Найти производную второго слагаемого \( \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \):
4. Используем правило произведения и цепное правило дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \right] = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \]
5. Сложить производные двух слагаемых:
\[ f'(x) = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{3x}{4}cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )\)

Решение №3271: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 + \sin(-2x - 1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(x) \):
\[ f(x) = x^2 + \sin(-2x - 1) \]
2. Найти производную первого слагаемого \( x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
3. Найти производную второго слагаемого \( \sin(-2x - 1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) \]
4. Использовать цепное правило для нахождения производной \( \sin(-2x - 1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) = \cos(-2x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(-2x - 1) \]
5. Найти производную аргумента \( -2x - 1 \):
\[ \frac{d}{dx}(-2x - 1) = -2 \]
6. Подставить полученные значения:
\[ \frac{d}{dx}(\sin(-2x - 1)) = \cos(-2x - 1) \cdot (-2) = -2 \cos(-2x - 1) \]
7. Сложить производные каждого слагаемого:
\[ f'(x) = 2x - 2 \cos(-2x - 1) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x-2cos(-2x-1)\)

Решение №3275: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos^5 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f(x) = (\cos x)^5 \] Применим правило дифференцирования: \[ f'(x) = 5 (\cos x)^4 \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) \]
2. Найти производную функции \( \cos x \):
\[ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \]
3. Подставить производную \( \cos x \) в выражение:
\[ f'(x) = 5 (\cos x)^4 \cdot (-\sin x) \]
4. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -5 \cos^4 x \sin x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-5cos^{4}xsinx\)

Решение №3276: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 \cos(x^3 + x^2 - 2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \cos(x^3 + x^2 - 2x) \right) \]
2. Применить правило производной произведения:
\[ f'(x) = \left( x^2 \right)' \cos(x^3 + x^2 - 2x) + x^2 \left( \cos(x^3 + x^2 - 2x) \right)' \]
3. Найти производную \( \left( x^2 \right)' \):
\[ \left( x^2 \right)' = 2x \]
4. Найти производную \( \left( \cos(x^3 + x^2 - 2x) \right)' \):
\[ \left( \cos(x^3 + x^2 - 2x) \right)' = -\sin(x^3 + x^2 - 2x) \cdot \left( x^3 + x^2 - 2x \right)' \]
5. Найти производную \( \left( x^3 + x^2 - 2x \right)' \):
\[ \left( x^3 + x^2 - 2x \right)' = 3x^2 + 2x - 2 \]
6. Подставить найденные производные в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 2x \cos(x^3 + x^2 - 2x) + x^2 \left( -\sin(x^3 + x^2 - 2x) \cdot (3x^2 + 2x - 2) \right) \]
7. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 2x \cos(x^3 + x^2 - 2x) - x^2 \sin(x^3 + x^2 - 2x) \cdot (3x^2 + 2x - 2) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2xcos(x^{3}+x^{2}-2x)-x^{2}(3x^{2}+2x-2)sin(x^{3}+x^{2}-3)\)

Решение №3281: Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan(x^3 + x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Напомним, что производная функции вида \( \tan(u) \) равна \( \sec^2(u) \cdot u' \), где \( u \) — внутренняя функция.
2. Обозначим внутреннюю функцию \( u = x^3 + x^2 \).
3. Найдем производную внутренней функции \( u \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2) = 3x^2 + 2x \]
4. Теперь применим правило дифференцирования сложной функции:
\[ f'(x) = \sec^2(u) \cdot u' = \sec^2(x^3 + x^2) \cdot (3x^2 + 2x) \]
5. Подставим \( u = x^3 + x^2 \) в выражение:
\[ f'(x) = \sec^2(x^3 + x^2) \cdot (3x^2 + 2x) \]
6. Запишем окончательный результат:
\[ f'(x) = (3x^2 + 2x) \cdot \sec^2(x^3 + x^2) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3x^{2}+2x}{cos^{2}(x^{3}+x^{2})}\)

Решение №3282: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(1 - 4x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = 1 - 4x^2 \), тогда \( f(x) = \sin(u) \).
2. Найти производную внешней функции \( \sin(u) \) относительно \( u \): \[ \frac{d}{du} \sin(u) = \cos(u) \]
3. Найти производную внутренней функции \( u = 1 - 4x^2 \) относительно \( x \): \[ \frac{d}{dx} (1 - 4x^2) = -8x \]
4. Применить правило дифференцирования сложной функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \sin(1 - 4x^2) = \cos(1 - 4x^2) \cdot (-8x) \]
5. Умножить производную внешней функции на производную внутренней функции: \[ f'(x) = -8x \cos(1 - 4x^2) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-cos(1-4x^{3})(12x^{2})\)

Решение №7103: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg} x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( \operatorname{ctg} x \) через синус и косинус:
\[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \]
2. Использовать правило дифференцирования частного для нахождения производной:
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = \cos x \) и \( v = \sin x \).
3. Найти производные \( u \) и \( v \):
\[ u' = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \] \[ v' = \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \]
4. Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной частного:
\[ \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' = \frac{(-\sin x) \sin x - (\cos x) \cos x}{\sin^2 x} \]
5. Упростить выражение:
\[ \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \]
6. Использовать тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\[ \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} \]
7. Записать окончательный результат:
\[ f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{sin^{2}x}\)

Решение №7104: Для нахождения производной функции \( f(x) = (5x + 2) \sin(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = (5x + 2) \sin(2x) \]
2. Применить правило производной произведения двух функций:
\[ f'(x) = (u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] где \( u(x) = 5x + 2 \) и \( v(x) = \sin(2x) \).
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(5x + 2) = 5 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2 \cos(2x) \]
4. Подставить найденные производные в формулу производной произведения:
\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] \[ f'(x) = 5 \cdot \sin(2x) + (5x + 2) \cdot 2 \cos(2x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 5 \sin(2x) + 2(5x + 2) \cos(2x) \] \[ f'(x) = 5 \sin(2x) + 10x \cos(2x) + 4 \cos(2x) \] \[ f'(x) = 5 \sin(2x) + (10x + 4) \cos(2x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=5sin2\)

Решение №7105: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos^3 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos^3 x) \]
2. Использовать правило дифференцирования степенной функции и цепочки:
\[ f'(x) = 3 \cos^2 x \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) \]
3. Найти производную \( \cos x \):
\[ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \]
4. Подставить производную \( \cos x \) в выражение:
\[ f'(x) = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -3 \cos^2 x \sin x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=0\)

Решение №7107: Для нахождения производной функции \( f(x) = (x-4) \cdot \tan(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию в удобной форме:
\[ f(x) = (x-4) \cdot \tan(x) \]
2. Применить правило производной произведения двух функций:
\[ f'(x) = \left( (x-4) \cdot \tan(x) \right)' = (x-4)' \cdot \tan(x) + (x-4) \cdot (\tan(x))' \]
3. Найти производные каждого множителя:
\[ (x-4)' = 1 \] \[ (\tan(x))' = \sec^2(x) \]
4. Подставить найденные производные в формулу производной произведения:
\[ f'(x) = 1 \cdot \tan(x) + (x-4) \cdot \sec^2(x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \tan(x) + (x-4) \cdot \sec^2(x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{sin2x+2x-8}{2cos^{2}x}\)

Решение №7109: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) \]
2. Использовать правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(u)) \cdot \frac{du}{dx}, \text{ где } u = 2x \]
3. Найти производную внешней функции \( \sin(u) \):
\[ \frac{d}{du}(\sin(u)) = \cos(u) \]
4. Найти производную внутренней функции \( u = 2x \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
5. Применить правило цепочки:
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2cos2x\)

Решение №7114: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) \]
2. Применить правило цепочки:
\[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \]
3. Найти производную внутренней функции \( \frac{1}{x} \):
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \]
4. Подставить производную внутренней функции в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{x^{2}}cos\frac{1}{x}\)

Решение №7119: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + \cos(x)) \]
2. Применить правило суммы для нахождения производной:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x)) \]
3. Использовать известные производные тригонометрических функций:
\[ \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \] \[ \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \]
4. Подставить эти производные в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=cosx-sinx\)

Решение №7121: Для нахождения производной функции \( f(x) = (1 + x + x^2) \cos x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выделить функции \( u(x) \) и \( v(x) \), где \( u(x) = 1 + x + x^2 \) и \( v(x) = \cos x \).
2. Применить правило производной произведения двух функций: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
3. Найти производные функций \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(1 + x + x^2) = 1 + 2x \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
4. Подставить найденные производные в формулу производной произведения:
\[ f'(x) = (1 + 2x) \cos x + (1 + x + x^2)(-\sin x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = (1 + 2x) \cos x - (1 + x + x^2) \sin x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=(1+2x)cosx-(1+x+x^{2})cosx\)

Решение №7126: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования композиции функций. Пусть \( u = \frac{x}{2} \), тогда \( f(x) = \cos(u) \).
2. Найти производную внешней функции \( \cos(u) \):
\[ \frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u) \]
3. Найти производную внутренней функции \( u = \frac{x}{2} \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \]
4. Применить правило дифференцирования композиции функций:
\[ \frac{d}{dx}(\cos(u)) = \frac{d}{du}(\cos(u)) \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot \frac{1}{2} \]
5. Подставить \( u = \frac{x}{2} \) обратно в выражение:
\[ \frac{d}{dx}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\)

Решение №7130: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{tg}(x^2 - 1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную внешней функции \( \operatorname{tg}(u) \), где \( u = x^2 - 1 \):
\[ \frac{d}{dx} \operatorname{tg}(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{dx} \]
2. Найти производную внутренней функции \( u = x^2 - 1 \):
\[ \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]
3. Подставить \( u = x^2 - 1 \) и \( \frac{du}{dx} = 2x \) в формулу для производной:
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x^2 - 1)} \cdot 2x \]
4. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{2x}{\cos^2(x^2 - 1)} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2x}{cos^{2}(x^{2}-1)}\)

Решение №7137: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(x) \) через основные тригонометрические функции:
\[ f(x) = (\cos(3x))^2 \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (\cos(3x))^2 \right] \]
3. Использовать правило дифференцирования возведения в степень:
\[ \frac{d}{dx} \left[ u^2 \right] = 2u \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = \cos(3x) \).
4. Найти производную \( u = \cos(3x) \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \cos(3x) \right] = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx} (3x) = -3\sin(3x) \]
5. Подставить \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу:
\[ f'(x) = 2 \cos(3x) \cdot (-3 \sin(3x)) = -6 \cos(3x) \sin(3x) \]
6. Использовать тригонометрическое тождество для синуса удвоенного угла:
\[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] где \( \theta = 3x \).
7. Подставить тождество в полученное выражение:
\[ f'(x) = -6 \cos(3x) \sin(3x) = -3 \sin(6x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-3sin6x\)

Решение №7138: Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем исходную функцию:
\[ f(x) = \tan(3x) \]
2. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = 3x \), тогда \( f(x) = \tan(u) \).
3. Найдем производную \( \tan(u) \) по \( u \):
\[ \frac{d}{du} (\tan(u)) = \sec^2(u) \]
4. Найдем производную \( u = 3x \) по \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 3 \]
5. Применим правило дифференцирования сложной функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\tan(3x)) = \frac{d}{du} (\tan(u)) \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot 3 \]
6. Подставим \( u = 3x \) обратно в выражение:
\[ f'(x) = 3 \sec^2(3x) \]
7. Запишем окончательный результат:
\[ f'(x) = 3 \sec^2(3x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{cos^{2}3x}\)

Решение №7141: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin(x + 3) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \sin(x + 3) \]
2. Применить правило дифференцирования для функции вида \( \sin(u) \), где \( u = x + 3 \). Используем цепное правило (правило дифференцирования сложной функции):
\[ \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
3. Найти производную \( u = x + 3 \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + 3) = 1 \]
4. Подставить \( u = x + 3 \) и \( \frac{du}{dx} = 1 \) в формулу:
\[ f'(x) = \cos(x + 3) \cdot 1 = \cos(x + 3) \]
5. Таким образом, производная функции \( f(x) = \sin(x + 3) \) равна:
\[ f'(x) = \cos(x + 3) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=cos(x+3)\)

Решение №7147: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos^3(x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать цепное правило дифференцирования:
\[ f(x) = \cos^3(x) = (\cos(x))^3 \]
2. Применить цепное правило: пусть \( u = \cos(x) \), тогда \( f(u) = u^3 \):
\[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (\cos(x))^3 = 3(\cos(x))^2 \cdot \frac{d}{dx} (\cos(x)) \]
3. Найти производную \( \cos(x) \):
\[ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) \]
4. Подставить производную \( \cos(x) \) в выражение:
\[ \frac{d}{dx} (\cos(x))^3 = 3(\cos(x))^2 \cdot (-\sin(x)) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -3 \cos^2(x) \sin(x) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-3cos^{2}xsinx\)

Решение №7151: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^{1/2} + \sin^3(2x-1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(x) \):
\[ f(x) = x^{1/2} + \sin^3(2x-1) \]
2. Найти производную первого слагаемого \( x^{1/2} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]
3. Найти производную второго слагаемого \( \sin^3(2x-1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) \]
4. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочка):
\[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) = 3 \sin^2(2x-1) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x-1)) \]
5. Найти производную \( \sin(2x-1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin(2x-1)) = \cos(2x-1) \cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = \cos(2x-1) \cdot 2 \]
6. Подставить производную \( \sin(2x-1) \) в выражение для производной \( \sin^3(2x-1) \):
\[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) = 3 \sin^2(2x-1) \cdot \cos(2x-1) \cdot 2 = 6 \sin^2(2x-1) \cos(2x-1) \]
7. Сложить производные слагаемых:
\[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 6 \sin^2(2x-1) \cos(2x-1) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+6sin^{2}(2x-1)cos(2x-1)\)

Решение №7156: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \sqrt{2x - 1} \]
2. Применить правило дифференцирования корня, используя цепное правило:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (2x - 1)^{1/2} \right) \]
3. Применить цепное правило:
\[ f'(x) = \frac{1}{2} (2x - 1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} (2x - 1) \]
4. Найти производную внутренней функции \( 2x - 1 \):
\[ \frac{d}{dx} (2x - 1) = 2 \]
5. Подставить производную внутренней функции в выражение для производной \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{2} (2x - 1)^{-1/2} \cdot 2 \]
6. Упростить выражение:
\[ f'(x) = (2x - 1)^{-1/2} \]
7. Переписать в виде корня:
\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)